Ibero 2003 - P3

[Gianni De Rico]

Pablo estaba copiando el siguiente problema:

Considere todas las sucesiones de $2004$ números reales $\left (x_0,x_1,x_2,\ldots ,x_{2003}\right )$ tales que\begin{align*}x_0 & =1, \\
0\leq x_1 & \leq 2x_0, \\
0\leq x_2 & \leq 2x_1, \\
& \vdots \\
0\leq x_{2003} & \leq 2x_{2002} \\
\end{align*}Entre todas estas sucesiones, determine aquella para la cual la siguiente expresión toma su mayor valor: $S=\ldots$.

Cuando Pablo iba a copiar la expresión de $S$ le borraron la pizarra. Lo único que pudo recordar es que $S$ era de la forma$$S=\pm x_1\pm x_2\pm \cdots \pm x_{2002}+x_{2003},$$donde el último término, $x_{2003}$, tenía coeficiente $+1$, y los anteriores tenían coeficiente $+1$ ó $-1$. Demuestre que Pablo, a pesar de no tener el enunciado completo, puede determinar con certeza la solución del problema.

[([{&}])]

acá va:

Spoiler: mostrar

Lo que nos dice el enunciado es que existe un conjunto de 2003 números tal que sea cual sean los coeficientes, siempre maximiza la expresión. Entonces es equivalente a probar que $X_{i}=2^{i}$ (ya que sabemos que $\sum_{i=1}^{2003}x_{i}\leq 2+4+8+ ...+2^{2003}$)
Notemos que todo $x_{i}\geq 0$. Consideremos $S_{n} = \sum_{i=1}^{n-1}\pm x_{i}$. Luego consideramos el numero $S_{n} + kx_{n}$ ($k\geq 1$) que es claro que para cualquier $S_{n}$ alcanza su máximo al tener $2x_{n-1}=x_{n}$. Ahora tenemos dos casos:
1. $S = S_{n-1} + x_{n-1}+ 2kx_{n-1} = S_{n-1} + (2k+1)x_{n-1}$ $\wedge$ ($2k+1\geq 1$)
2. $S = S_{n-1} - x_{n-1}+ 2kx_{n-1} = S_{n-1} + (2k-1)x_{n-1}$ $\wedge$ ($2k-1\geq 1$)
Es claro que ahora se da la misma situación que al principio donde lo mas lógico es elegir $2x_{n-2}=x_{n-1}$. Y seguimos hasta tener $kx_{1}$ ($k\geq 1$) donde lo mas lógico es elegir $x_{1}=2$.
Y estamos.