Ibero 2003 - P3
Este problema en el Archivo de Enunciados:
• Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • Iberoamericana • 2003-
Gianni De Rico
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Ibero 2003 - P3
Pablo estaba copiando el siguiente problema:
Cuando Pablo iba a copiar la expresión de $S$ le borraron la pizarra. Lo único que pudo recordar es que $S$ era de la forma$$S=\pm x_1\pm x_2\pm \cdots \pm x_{2002}+x_{2003},$$donde el último término, $x_{2003}$, tenía coeficiente $+1$, y los anteriores tenían coeficiente $+1$ ó $-1$. Demuestre que Pablo, a pesar de no tener el enunciado completo, puede determinar con certeza la solución del problema.
Considere todas las sucesiones de $2004$ números reales $\left (x_0,x_1,x_2,\ldots ,x_{2003}\right )$ tales que$$\begin{align*}x_0 & =1, \\
0\leqslant x_1 & \leqslant 2x_0, \\
0\leqslant x_2 & \leqslant 2x_1, \\
& \vdots \\
0\leqslant x_{2003} & \leqslant 2x_{2002} \\
\end{align*}$$Entre todas estas sucesiones, determine aquella para la cual la siguiente expresión toma su mayor valor: $S=\ldots$.
0\leqslant x_1 & \leqslant 2x_0, \\
0\leqslant x_2 & \leqslant 2x_1, \\
& \vdots \\
0\leqslant x_{2003} & \leqslant 2x_{2002} \\
\end{align*}$$Entre todas estas sucesiones, determine aquella para la cual la siguiente expresión toma su mayor valor: $S=\ldots$.
Cuando Pablo iba a copiar la expresión de $S$ le borraron la pizarra. Lo único que pudo recordar es que $S$ era de la forma$$S=\pm x_1\pm x_2\pm \cdots \pm x_{2002}+x_{2003},$$donde el último término, $x_{2003}$, tenía coeficiente $+1$, y los anteriores tenían coeficiente $+1$ ó $-1$. Demuestre que Pablo, a pesar de no tener el enunciado completo, puede determinar con certeza la solución del problema.
Queda Elegantemente Demostrado