Selectivo Cono Sur 2001 - P1

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Felibauk

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Selectivo Cono Sur 2001 - P1

Mensaje sin leer por Felibauk » Mar 21 Ene, 2020 4:18 pm

Sean $a,b,c,d$ dígitos, con $a$ distinto de $0$, tales $0,abc=\frac{a}{b+c+d}$.
Hallar todos los posibles valores de $a,b,c,d$.

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NPCPepe

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Re: Selectivo Cono Sur 2001 - P1

Mensaje sin leer por NPCPepe » Mié 29 Abr, 2020 12:02 am

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$\frac{100a+10b+c}{1000}=\frac{a}{b+c+d}$
$1000a=(100a+10b+c)(d+b+c)$
$1000a=((100d+100b+100c)a+10(bd+b^2+bc)+dc+bc+c^2)$
$(1000-100d-100b-100c)a=10(bd+b^2+bc)+dc+bc+c^2$
$a=\frac{10(bd+b^2+bc)+dc+bc+c^2}{1000-100d-100b-100c}$
$a$ y $10(bd+b^2+bc)+dc+bc+c^2$ son positivos asi que $1000-100d-100b-100c$ debe ser positivo, por lo que $b+c+d<10$
$10$ divide a $dc+bc+c^2$ ya que $1000-100d-100b-100c$ que es múltiplo de 10 divide a $dc+bc+c^2+10(bd+b^2+bc)$ y $10(bd+b^2+bc)$ es múltiplo de 10
$c*(b+c+d)=dc+bc+c^2$ es múltiplo de 10
$c$ es menor a 10 y $b+c+d$ también
$c$ es par o 5

Si $c$ es par, $b+c+d$=5
Si $c=0$, $b+0+d$=5, si probamos con todos los $b$, $d$ posibles ($0$, $5$), ($1$, $4$) ... no hay soluciones
Si $c=2$, $b+2+d$=5, si probamos con todos los $b$, $d$ posibles ($0$, $3$), ($1$, $2$) ... no hay soluciones
Si $c=4$, $b+4+d$=5, si probamos con todos los $b$, $d$ posibles no hay soluciones
Si $c=6$, $b+6+d$=5, no se puede porque $6>5$

Si $c=5$, $b+c+d$ es par
Si $b+5+d=6$, probamos y no hay soluciones
Si $b+5+d=8$, hay una solución, y es $a=1, (b=2, c=5, d=1)$
Si $b+5+d=10$, no se puede ya que $b+c+d<10$
$3=569936821221962380720^3+(-569936821113563493509)^3+(-472715493453327032)^3$: esta es la tercer menor solucion descubierta para la ecuación $a^3+b^3+c^3=3$ , las otras dos son $1^3+1^3+1^3=3$ y $4^3+4^3+(-5)^3=3$

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