Nacional 2019 - Nivel 3 - Problema 4

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Monazo

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Nacional 2019 - Nivel 3 - Problema 4

Mensaje sin leer por Monazo » Jue 14 Nov, 2019 11:20 am

Se tiene un conjunto $M$ de $2019$ números reales tales que para todo par $a$, $b$ de números de $M$ se verifica que $a^2+b\sqrt{2}$ es un número racional. Demostrar que para todo $a$ de $M$ vale que $a\sqrt{2}$ es un número racional.

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BrunoDS

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Re: Nacional 2019 - Nivel 3 - Problema 4

Mensaje sin leer por BrunoDS » Sab 16 Nov, 2019 11:23 am

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Recordemos que la suma, resta, multiplicación y división de dos números racionales nos da otro número racional.

Al tener al menos $3$ elementos, para cada pareja de números $a$ y $b$, elegimos otro número $c$.

Restamos $(c,a)-(c,b)$:

$(c^2+a \sqrt{2}) - (c^2+b \sqrt{2}) = \sqrt{2} (a-b)= Q_1$; con $Q_1 \in \mathbb{Q}$.

Luego: $a-b=\frac{Q_1}{\sqrt{2}}$ ... $(1)$

Ahora, restamos $(a,c)-(b,c)$:

$(a^2+c\sqrt{2})-(b^2+c\sqrt{2})= a^2-b^2=(a+b)(a-b)=Q_2$; con $Q_2\in \mathbb{Q}$

Reenplazando $(1)$:

$(a+b)(a-b)=(a+b)(\frac{Q_1}{\sqrt{2}})=Q_2 \Leftrightarrow$
$a+b= \frac{Q_2}{Q_1} \times \sqrt {2}$

Luego, si hacemos:

$(a+b)+(a-b)=\frac{Q_2}{Q_1} \times \sqrt {2} + \frac{Q_1}{\sqrt{2}}= \frac{Q_2}{Q_1} \times \sqrt {2} +\frac{Q_1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=
\frac{Q_2}{Q_1} \times \sqrt {2} +\frac{Q_1}{2}\times \sqrt{2}$

$2a=\frac{Q_2}{Q_1} \times \sqrt {2} +\frac{Q_1}{2}\times \sqrt{2}= \sqrt{2}\times (\frac{Q_2}{Q_1} +\frac{Q_1}{2})$

$a=\sqrt{2}\times (\frac{\frac{Q_2}{Q_1} +\frac{Q_1}{2}}{2})$

$a\sqrt{2}= \sqrt{2}\times \sqrt{2}\times(\frac{\frac{Q_2}{Q_1} +\frac{Q_1}{2}}{2})$

$a\sqrt{2}= \frac{Q_2}{Q_1} +\frac{Q_1}{2} \in \mathbb{Q}$

Por lo que queda demostrado.
1  
"No se olviden de entregar la prueba antes de irse..."

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