Nacional 2004 - N1 P5

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BrunZo

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Nacional 2004 - N1 P5

Mensaje sin leer por BrunZo » Lun 21 Oct, 2019 3:38 pm

Gabriel hace una lista de números con el siguiente procedimiento: el primer número es $2004$; el segundo lo elige Gabriel; el tercero es la resta del primero menos el segundo; el cuarto es la resta del segundo menos el tercero; el quinto es la resta del tercero menos el cuarto, y así siguiendo, cada número es la resta del anteúltimo menos el último de los que se escribieron hasta ese momento. El proceso se detiene cuando por primera vez Gabriel escriba un número negativo. Determinar qué número entero positivo debe elegir Gabriel como segundo número para que la secuencia tenga la mayor cantidad posible de números.

Peznerd
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Re: Nacional 2004 - N1 P5

Mensaje sin leer por Peznerd » Mié 06 Nov, 2019 5:12 pm

Fui probando y ordenaré con números romanos entre paréntesis mis proposiciones probadas y letras "i" minúscula y entre paréntesis mis conjeturas
Spoiler: mostrar
2004 1 2003 -2002
2004 2005 -1
2004 2004 0 -2004
2004 2006 -2

Llamamos $U$ al número que debe elegir gabriel ($I$)
$1 \leq U \leq 2004$ ($II$)

2004 2003 1 -2002
2004, U, 2004-U, U-(2004-U) = U + U - 2004

$U + U = 2U \geq 2004 \rightarrow U \geq 1002$ ($III$)

$U = \frac{2004+1002}{2} = 1503$ (i)

2004 1503 501 1002 -501
2004, U, (2004 - U), (U + U - 2004), (2004 - U) - (2U - 2004) = 2004 - U - 2U + 2004 = 4008 - 3U, (2 U - 2004) - (4008 - 3U) = 2U - 2004 - 4008 + 3U = 5U - 6012, 4008 + 6012 - 8U = 10020 - 8U, 13U - 16032, 26052 - 21U,

$U \leq \frac{4008}{3} = 1336$ ($IV$)
$\rightarrow$ (i) es falso
$U \geq \frac{6012}{5} = 1202,4$ ($V$)
$U \leq \frac{10020}{8} = 1252,5$ ($VI$)
$U \geq \frac{16032}{13} = 1233$ ($VII$)
$U \leq \frac{26052}{21} = 1240$ ($VIII$)
$U \geq \frac{42084}{34} = 1237$ ($IX$)
$U \leq \frac{68136}{55} = 1238$ ($X$)
$U \geq \frac{110220}{89} = 1238$ ($XI$)

De ($I$), ($X$) y de ($XI$) sacamos fácilmente que $U = 1238$.
Spoiler: mostrar
Fibonacci, are you here?
Una curiosidad, es que para sacar el $n + 2$ -ésimo término de la lista de Gabi hacemos $2004 f + (f+1)U$ si $n + 2$ es impar o bien $(f+1)U-2004f$ si $n + 2$ es par, de donde $f$ es el $n$-ésimo número de la sucesión de Fibonacci.
Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme

$$\int u \, dv=uv-\int v \, du\!$$

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