ONEM 2018 - Nacional - Nivel 3 - P2

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Nando

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ONEM 2018 - Nacional - Nivel 3 - P2

Mensaje sin leer por Nando » Lun 21 Oct, 2019 12:14 am

Sean $a$, $b$ y $c$ números reales tales que
$$a +\frac b c= b +\frac c a= c +\frac a b= 1:$$
a) Pruebe que $ab + bc + ca = 0$ y $a + b + c = 3$.
b) Pruebe que $|a| + |b| + |c|< 5$.

Martín Lupin

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Re: ONEM 2018 - Nacional - Nivel 3 - P2

Mensaje sin leer por Martín Lupin » Lun 06 Ene, 2020 7:13 pm

a)
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Claramente $a, b, c \neq 0$.
Por la condición del problema tenemos que $ca+b=c$, $ab+c=a$, $bc+a=b$. Sumando estas ecuaciones tenemos que $$ab+bc+ca+a+b+c=a+b+c\Leftrightarrow ab+bc+ca=0$$
Nuevamente por la condición del problema tenemos que $\frac{a}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{b}$, $\frac{b}{c}+\frac{1}{a}=\frac{1}{c}$, $\frac{c}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a}$. Sumando estas igualdades tenemos que
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=0$$
Como tenemos que $a+b+c+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=3$, se deduce directamente que $a+b+c=3$
b)
Spoiler: mostrar
Supongamos WLOG que $a\geq b\geq c$. Como $ab+bc+ca=0$, es imposible que $a, b, c>0$. Luego $c<0$. Ahora supongamos que $b<0$. Luego para que $b+\frac{c}{a}$ y $c+\frac{a}{b}$ sean positivos se debe cumplir que $a<0$, lo cual es una contradicción ya que entonces tendríamos $a+b+c<0$. Luego $a, b>0$ y el enunciado es equivalente a demostrar que $a+b-c<5$.
La igualdad $a+b+c=3$ pùede ser reescrita como $a+b-c=3-2c$. Luego hay que demostrar que $3-2c<5\Leftrightarrow c>-1$. Supongamos por el contrario que $c\leq -1$. Reemplazando $a=1-\frac{b}{c}$ en $c+\frac{a}{b}=1$, tenemos que $\frac{1}{b}=1-c+\frac{1}{c}\geq 1$, por lo que $b\leq 1$.
Por otra parte, como $\frac{c}{a}<0$ y $b+\frac{c}{a}=1$, debemos tener $b>1$, lo cual es una contradicción que proviene de asumir que $c\leq -1$. Luego $c>-1$, y tenemos demostrado que $|a|+|b|+|c|< 5$.

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