1er Selectivo Cono Sur 2019 Uruguay - Problema 4

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Sandy

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1er Selectivo Cono Sur 2019 Uruguay - Problema 4

Mensaje sin leer por Sandy » Sab 31 Ago, 2019 10:02 pm

Una lista infinita de números naturales comienza con $9$. El siguiente al centésimo número es $609$. Se sabe que cada número, salvo el primero, es el promedio de los dos adyacentes a él, el anterior y el que sigue.
a) ¿$2019$ está en esa lista de números?
b) ¿Cuántas parejas de números distintos, contenidos en la lista, suman $4038$?
$u=tan\left(\frac{x}{2}\right)$
$\frac{2}{1+u^2}du=dx$

Ianoni

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Re: 1er Selectivo Cono Sur 2019 Uruguay - Problema 4

Mensaje sin leer por Ianoni » Jue 09 Jul, 2020 3:20 pm

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Quiero aclarar que no se si la inducción esta bien aplicada

Primero, vamos a definir a la lista como una sucesión de números, donde el primer termino va a ser $A_0 = 9$, $A_1 = k$, con $k$ natural y como cada termino es el promedio de los 2 números adyacentes a el, tenemos que :

$A_{n-1} = \frac{A_{n} + A_{n-2}}{2}$, entonces, $A_n = 2A_{n-1}-A_{n-2}$, entonces tenemos una sucesión definida como :

$A_0 = 9$
$A_1 = k$
$A_n = 2A_{n-1}-A_{n-2}$

Ahora propongo que la sucesión $A_n = 9 +(k-9)*n$ cumple lo pedido para todo $n$ entero positivo, vamos a demostrar que vale por inducción:

Inducción:
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Primero veamos un caso base, con $A_2$ en la forma que sacamos al principio, y luego en la que propusimos:

$A_2 = 2A_{1}-A_{0}$

$A_2 = 2k - 9$

Entonces, ahora si remplazamos $2$ en la que propusimos nos queda que :

$A_2 = 9 +(k-9)*2$

$A_2 = 2k - 9$

Entonces, ya vimos este caso, ahora supongamos que vale lo que propusimos desde $0$ hasta $n-1$, veamos si vale para $n$:

Por hipótesis inductiva tenemos que :

$A_{n-1} = 9 + (k-9)(n-1)$

$A_{n-1} = 9 + kn - k -9n + 9$

$A_{n-2} = 9 + (k-9)(n-2)$

$A_{n-2} = 9 + kn -2k -9n+18$

Con la forma que sacamos del enunciado tenemos que:

$A_n = 2(A_{n-1}) - A_{n-2}$

$A_n = 2( 9 + kn - k -9n + 9) - (9 + kn -2k -9n+18)$

$A_n = 36+2kn-2k-18n-27-kn+2k+9n$

$A_n = 9+kn-9n$

$A_n = 9+n(k-9)$

Y con la forma que propusimos

$A_n = 9+n(k-9)$ entonces la inducción esta completa
Como el enunciado nos dice que el numero de la lista $101$ vale $ 609$, vamos a igualar, pero antes recordemos que nosotros definimos al termino $1$ de la lista del enunciado como el $A_0$ de la nuestra, entonces el numero de la lista del enunciado, le corresponde al termino $A_{100}$, entonces tenemos que:

$A_{100} = 609$
$9 +(k-9)*100 = 609$
$(k-9)=6$
$k = 15$

Entonces, la sucesión pasa a ser $A_n = 9 +(15-9)*n$ $\rightarrow$ $A_n = 9 +6*n$

Con esta información pasamos a ver el lo que nos piden

Parte $a$:
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Tenemos que encontrar un termino de nuestra sucesión que valga $2019$, entonces igualamos y nos queda que :
$A_n = 2019$

$9 +(6)*n = 2019$, si despejamos queda que $n = 335$, entonces el termino de la lista del enunciado que vale $2019$ es el que esta en el "puesto" $336$
Parte $b$ :
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Tenemos que encontrar 2 números de la sucesión que hagan valer la siguiente ecuación :

$A_n +A_m = 4038$, donde $m$ es natural o $0$

$9 +(6)*n+ 9 +(6)*m = 4038$

$n + m = 670$ , pero como $0\leq n\leq 670$ ya que si este fuese mas grande, implicaría que $m$ sea negativo, pero esto es absurdo ya que no existen términos negativos en la sucesión ya que esta arranca en $A_0$, entonces tenemos $670$ parejas, que hagan valer la ecuación, pero como a partir de que $n>335$,$n$ va a empezar a tomar valores que $m$ tomo antes y $m$ va a tener los mismos valores que tuvo $n$ en ese entonces para que valga la ecuación, entonces tenemos que existen $334$ parejas que cumplan lo pedido ya que el caso en que $n = 335$ no lo tenemos que incluir porque implicaría que los términos $A_n = A_m$ pero esto no tiene que ser así ya que el enunciado pide parejas de números distintos
Última edición por Ianoni el Jue 09 Jul, 2020 10:15 pm, editado 3 veces en total.

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Gianni De Rico

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Re: 1er Selectivo Cono Sur 2019 Uruguay - Problema 4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 09 Jul, 2020 4:24 pm

Uno parecido: Nacional 2014 - N3 P1
Queda Elegantemente Demostrado

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