Una lista infinita de números naturales comienza con $9$. El siguiente al centésimo número es $609$. Se sabe que cada número, salvo el primero, es el promedio de los dos adyacentes a él, el anterior y el que sigue.
a) ¿$2019$ está en esa lista de números?
b) ¿Cuántas parejas de números distintos, contenidos en la lista, suman $4038$?
Quiero aclarar que no se si la inducción esta bien aplicada
Primero, vamos a definir a la lista como una sucesión de números, donde el primer termino va a ser $A_0 = 9$, $A_1 = k$, con $k$ natural y como cada termino es el promedio de los 2 números adyacentes a el, tenemos que :
$A_{n-1} = \frac{A_{n} + A_{n-2}}{2}$, entonces, $A_n = 2A_{n-1}-A_{n-2}$, entonces tenemos una sucesión definida como :
$A_0 = 9$
$A_1 = k$
$A_n = 2A_{n-1}-A_{n-2}$
Ahora propongo que la sucesión $A_n = 9 +(k-9)*n$ cumple lo pedido para todo $n$ entero positivo, vamos a demostrar que vale por inducción:
$A_n = 9+n(k-9)$ entonces la inducción esta completa
Como el enunciado nos dice que el numero de la lista $101$ vale $ 609$, vamos a igualar, pero antes recordemos que nosotros definimos al termino $1$ de la lista del enunciado como el $A_0$ de la nuestra, entonces el numero de la lista del enunciado, le corresponde al termino $A_{100}$, entonces tenemos que:
Tenemos que encontrar un termino de nuestra sucesión que valga $2019$, entonces igualamos y nos queda que :
$A_n = 2019$
$9 +(6)*n = 2019$, si despejamos queda que $n = 335$, entonces el termino de la lista del enunciado que vale $2019$ es el que esta en el "puesto" $336$
Tenemos que encontrar 2 números de la sucesión que hagan valer la siguiente ecuación :
$A_n +A_m = 4038$, donde $m$ es natural o $0$
$9 +(6)*n+ 9 +(6)*m = 4038$
$n + m = 670$ , pero como $0\leq n\leq 670$ ya que si este fuese mas grande, implicaría que $m$ sea negativo, pero esto es absurdo ya que no existen términos negativos en la sucesión ya que esta arranca en $A_0$, entonces tenemos $670$ parejas, que hagan valer la ecuación, pero como a partir de que $n>335$,$n$ va a empezar a tomar valores que $m$ tomo antes y $m$ va a tener los mismos valores que tuvo $n$ en ese entonces para que valga la ecuación, entonces tenemos que existen $334$ parejas que cumplan lo pedido ya que el caso en que $n = 335$ no lo tenemos que incluir porque implicaría que los términos $A_n = A_m$ pero esto no tiene que ser así ya que el enunciado pide parejas de números distintos
Última edición por oaf el Jue 09 Jul, 2020 10:15 pm, editado 3 veces en total.