Entrenamiento Cono 2018 P38

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Joacoini

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Entrenamiento Cono 2018 P38

Mensaje sin leer por Joacoini » Sab 18 Ago, 2018 9:10 am

Sean $a,b,c,d$ números reales no negativos que satisfacen $a+b+c+d=3$. Demostrar que$$\dfrac{a}{1+2b^3}+\dfrac{b}{1+2c^3}+\dfrac{c}{1+2d^3}+\dfrac{d}{1+2a^3}\geq \dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2}{3}$$¿Cuándo vale la igualdad?
NO HAY ANÁLISIS.

HelcsnewsXD

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Re: Entrenamiento Cono 2018 P38

Mensaje sin leer por HelcsnewsXD » Lun 04 May, 2020 11:39 am

Spoiler: mostrar
Tenemos que $\exists a$,$b$,$c$,$d \in \mathbb{R}^+_0$ y debemos demostrar:
$\frac{a}{1+2b^3}+ \frac{b}{1+2c^3}+ \frac{c}{1+2d^3}+ \frac{d}{1+2a^3} \geq \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{3}$

Por esto, si cada término cumple esa desigualdad "particular", el "todo" también lo hará. Es decir, tenemos que suponer:
$\frac{a}{1+2b^3} \geq \frac{a^2}{3} \Rightarrow \frac{3}{1+2b^3} \geq a$
De este modo, planteándolo para los cuatro casos, tenemos:
$\frac{3}{1+2b^3} \geq a$; $\frac{3}{1+2c^3} \geq b$; $\frac{3}{1+2d^3} \geq c$; $\frac{3}{1+2a^3} \geq d$

Veamos si cumple. Tomemos el 1er caso, sin pérdida de generalidad. Ahora, tenemos que considerar 2 sub-casos: cuando $b=0$ y cuando $b \geq 0$. Por esto:
1) Si $b=0 \rightarrow 3 \geq a$, lo cual es cierto ya que $a+b+c+d=3$
2) Si $b \geq 0 \rightarrow 3 \geq a-\frac{3}{2b^3} \Rightarrow a+b+c+d \geq a-\frac{3}{2b^3} \Rightarrow b+c+d \geq -\frac{3}{2b^3} \Rightarrow$ Como $b$,$c$,$d \in \mathbb{R}^+_0$, esta desigualdad vale.

Del mismo modo demostramos las otras desigualdades y obtenemos que la "desigualdad total" cumple.
Ahora, para ver el caso de igualdad tenemos que:
$3=\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{\frac{a}{1+2b^3}+ \frac{b}{1+2c^3}+ \frac{c}{1+2d^3}+ \frac{d}{1+2a^3}}$

Por esta razón, tendríamos $\frac{a}{1+2b^3}=a+\frac{a}{2b^3}$, siempre y cuando $b \geq 0$, en caso contrario queda solo $a$. De este modo:
$\frac{a}{1+2b^3}+ \frac{b}{1+2c^3}+ \frac{c}{1+2d^3}+ \frac{d}{1+2a^3} \geq 3$
Y como la parte de arriba cumple:
$(a+b+c+d)^2 \geq a^2+b^2+c^2+d^2 \Rightarrow 9 \geq a^2+b^2+c^2+d^2$,
debemos maximizar el valor de arriba y minimizar el de abajo, obteniendo que el caso de igualdad únicamente se da cuando $a=3$ y $b=c=d=0$, sin pérdida de generalidad
Genial :D 8-)

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Dauphineg

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Re: Entrenamiento Cono 2018 P38

Mensaje sin leer por Dauphineg » Lun 04 May, 2020 2:04 pm

HelcsnewsXD escribió:
Lun 04 May, 2020 11:39 am
Spoiler: mostrar
Tenemos que $\exists a$,$b$,$c$,$d \in \mathbb{R}^+_0$ y debemos demostrar:
$\frac{a}{1+2b^3}+ \frac{b}{1+2c^3}+ \frac{c}{1+2d^3}+ \frac{d}{1+2a^3} \geq \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{3}$

Por esto, si cada término cumple esa desigualdad "particular", el "todo" también lo hará. Es decir, tenemos que suponer:
$\frac{a}{1+2b^3} \geq \frac{a^2}{3} \Rightarrow \frac{3}{1+2b^3} \geq a$
De este modo, planteándolo para los cuatro casos, tenemos:
$\frac{3}{1+2b^3} \geq a$; $\frac{3}{1+2c^3} \geq b$; $\frac{3}{1+2d^3} \geq c$; $\frac{3}{1+2a^3} \geq d$

Veamos si cumple. Tomemos el 1er caso, sin pérdida de generalidad. Ahora, tenemos que considerar 2 sub-casos: cuando $b=0$ y cuando $b \geq 0$. Por esto:
1) Si $b=0 \rightarrow 3 \geq a$, lo cual es cierto ya que $a+b+c+d=3$
2) Si $b \geq 0 \rightarrow 3 \geq a-\frac{3}{2b^3} \Rightarrow a+b+c+d \geq a-\frac{3}{2b^3} \Rightarrow b+c+d \geq -\frac{3}{2b^3} \Rightarrow$ Como $b$,$c$,$d \in \mathbb{R}^+_0$, esta desigualdad vale.

Del mismo modo demostramos las otras desigualdades y obtenemos que la "desigualdad total" cumple.
Ahora, para ver el caso de igualdad tenemos que:
$3=\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{\frac{a}{1+2b^3}+ \frac{b}{1+2c^3}+ \frac{c}{1+2d^3}+ \frac{d}{1+2a^3}}$

Por esta razón, tendríamos $\frac{a}{1+2b^3}=a+\frac{a}{2b^3}$, siempre y cuando $b \geq 0$, en caso contrario queda solo $a$. De este modo:
$\frac{a}{1+2b^3}+ \frac{b}{1+2c^3}+ \frac{c}{1+2d^3}+ \frac{d}{1+2a^3} \geq 3$
Y como la parte de arriba cumple:
$(a+b+c+d)^2 \geq a^2+b^2+c^2+d^2 \Rightarrow 9 \geq a^2+b^2+c^2+d^2$,
debemos maximizar el valor de arriba y minimizar el de abajo, obteniendo que el caso de igualdad únicamente se da cuando $a=3$ y $b=c=d=0$, sin pérdida de generalidad
Fijate que las desigualdades que pusiste y teóricamente probaste no son ciertas, por ejemplo esta desigualdad $\frac{a}{1+2b^3} \geq \frac{a^2}{3}$ no es cierta para $a=1/2,b=5/2,c=0,d=0$

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