Selectivo de IBERO - Puerto Rico 2018 P2

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Violeta

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Selectivo de IBERO - Puerto Rico 2018 P2

Mensaje sin leer por Violeta » Dom 12 Ago, 2018 2:17 pm

Hallar el mayor valor posible de $a^3b+b^3a$ si $a,b$ son reales nonegativos tales que $a+b=3$.
Última edición por Violeta el Dom 12 Ago, 2018 3:50 pm, editado 1 vez en total.
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

jujumas

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Re: Selectivo de IBERO - Puerto Rico 2018 P2

Mensaje sin leer por jujumas » Dom 12 Ago, 2018 3:34 pm

Asumo que el problema dice mayor.

Solución:
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$a^3b+ab^3=ab(a^2+b^2)=ab((a+b)^2-2ab)=ab(9-2ab)=2ab(\frac{9}{2}-ab)$.

Luego, por AM-GM tenemos que $\frac{9}{4} = \frac{ab + (\frac{9}{2}-ab)}{2} \geq \sqrt{ab(\frac{9}{2}-ab)}$. Luego, $a^3b+ab^3=2ab(\frac{9}{2}-ab) \leq 2(\frac{9}{4})^2 = \frac{81}{8}$. Tomando $a=b=\frac{3}{2}$ obtenemos el máximo deseado.

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Violeta

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Re: Selectivo de IBERO - Puerto Rico 2018 P2

Mensaje sin leer por Violeta » Dom 12 Ago, 2018 3:51 pm

jujumas escribió:
Dom 12 Ago, 2018 3:34 pm
Asumo que el problema dice mayor.

Solución:
Spoiler: mostrar
$a^3b+ab^3=ab(a^2+b^2)=ab((a+b)^2-2ab)=ab(9-2ab)=2ab(\frac{9}{2}-ab)$.

Luego, por AM-GM tenemos que $\frac{9}{4} = \frac{ab + (\frac{9}{2}-ab)}{2} \geq \sqrt{ab(\frac{9}{2}-ab)}$. Luego, $a^3b+ab^3=2ab(\frac{9}{2}-ab) \leq 2(\frac{9}{4})^2 = \frac{81}{8}$. Tomando $a=b=\frac{3}{2}$ obtenemos el máximo deseado.
Sí, dice mayor, mala mía. Es un problema trivial, de verdad.
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

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Gregorio
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Re: Selectivo de IBERO - Puerto Rico 2018 P2

Mensaje sin leer por Gregorio » Lun 20 Ago, 2018 11:00 pm

Juli lo hizo con álgebra, acá va con análisis
Spoiler: mostrar
$b=3-a$
$a^3 * (3-a) + (3-a)^3 * a = -2a^4+12a^3-27a^2+27a$
$f(a)=-2a^4+12a^3-27a^2+27a$
Derivamos e igualamos a 0
$f'(a)=-8a^3+36a^2-54a+27=0$
Los 3 valores de a que resuelven la ecuación son $a= 3/2 ; a= 3/2; a=3/2 $ (se puede tantear el primero con https://matematicaylisto.webcindario.co ... fgauss.htm y después resolver la cuadrática que te queda)
Evaluamos $3/2$ en $f(a)$ y obtenemos $81/8$. Este número podría ser un máximo o un mínimo de la función. Probamos con otro valor de $a$, si da más que $81/8$, entonces $81/8$ es un mínimo. Si da menos, $81/8$ es un máximo. $a=0$, $b= 3$ --> $f(0)=0$.
$81/8 > 0$ --> $81/8$ es un máximo.

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Gianni De Rico

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Re: Selectivo de IBERO - Puerto Rico 2018 P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 21 Ago, 2018 7:34 am

Respecto a la solución de arriba
Spoiler: mostrar
Una forma más fácil de hallar $a$ es viendo que $-8a^3+36a^2-54a+27=(3-2a)^3$ de donde la única raíz es $a=\frac{3}{2}$.

Para los que no sepan análisis, una justificación de por qué funciona buscar las raíces de $f'(a)$ es este Teorema de Fermat (hay que entender el concepto básico de derivada, pero la idea atrás del teorema es bastante intuitiva)
Queda Elegantemente Demostrado

Sandy

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Re: Selectivo de IBERO - Puerto Rico 2018 P2

Mensaje sin leer por Sandy » Sab 16 Nov, 2019 3:36 pm

Gregorio escribió:
Lun 20 Ago, 2018 11:00 pm
Juli lo hizo con álgebra, acá va con análisis
Spoiler: mostrar
$b=3-a$
$a^3 * (3-a) + (3-a)^3 * a = -2a^4+12a^3-27a^2+27a$
$f(a)=-2a^4+12a^3-27a^2+27a$
Derivamos e igualamos a 0
$f'(a)=-8a^3+36a^2-54a+27=0$
Los 3 valores de a que resuelven la ecuación son $a= 3/2 ; a= 3/2; a=3/2 $ (se puede tantear el primero con https://matematicaylisto.webcindario.co ... fgauss.htm y después resolver la cuadrática que te queda)
Evaluamos $3/2$ en $f(a)$ y obtenemos $81/8$. Este número podría ser un máximo o un mínimo de la función. Probamos con otro valor de $a$, si da más que $81/8$, entonces $81/8$ es un mínimo. Si da menos, $81/8$ es un máximo. $a=0$, $b= 3$ --> $f(0)=0$.
$81/8 > 0$ --> $81/8$ es un máximo.
Una pregunta, no podría ser un punto de inflexión también? Y habría que sacar la segunda derivada ahí.

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Gregorio
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Re: Selectivo de IBERO - Puerto Rico 2018 P2

Mensaje sin leer por Gregorio » Lun 25 Nov, 2019 2:26 am

Sandy escribió:
Sab 16 Nov, 2019 3:36 pm
Gregorio escribió:
Lun 20 Ago, 2018 11:00 pm
Juli lo hizo con álgebra, acá va con análisis
Spoiler: mostrar
$b=3-a$
$a^3 * (3-a) + (3-a)^3 * a = -2a^4+12a^3-27a^2+27a$
$f(a)=-2a^4+12a^3-27a^2+27a$
Derivamos e igualamos a 0
$f'(a)=-8a^3+36a^2-54a+27=0$
Los 3 valores de a que resuelven la ecuación son $a= 3/2 ; a= 3/2; a=3/2 $ (se puede tantear el primero con https://matematicaylisto.webcindario.co ... fgauss.htm y después resolver la cuadrática que te queda)
Evaluamos $3/2$ en $f(a)$ y obtenemos $81/8$. Este número podría ser un máximo o un mínimo de la función. Probamos con otro valor de $a$, si da más que $81/8$, entonces $81/8$ es un mínimo. Si da menos, $81/8$ es un máximo. $a=0$, $b= 3$ --> $f(0)=0$.
$81/8 > 0$ --> $81/8$ es un máximo.
Una pregunta, no podría ser un punto de inflexión también? Y habría que sacar la segunda derivada ahí.
Si, y no. Con reemplazar en la derivada primera a = 1 y a = 2 y darte cuenta de que te queda negativa en un caso y positiva en el otro alcanza para decir que es un máximo/mínimo.

By the way, si alguno piensa irse para el lado de las ciencias económicas, estas cosas se suelen resolver con el Multiplicador de Lagrange. Dejaría un link a Wikipedia pero el artículo es re falopa y el método en realidad es una gilada.

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