Dados varios números, elegimos uno de ellos, $a$, y lo reemplazamos por los tres números $\frac{a}{3},\frac{a}{3},\frac{a}{3}$. A continuación se aplica la misma operación en la nueva colección de números, y así siguiendo. El proceso comienza con $1000$ números $1$. Diremos que un número $m$ es bueno si hay $m$ o más números iguales después de cada paso, no importa cuántas ni qué operaciones se hayan realizado. Hallar el mayor número bueno.
Primero que nada, demostremos que [math]\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^n}=S\leq \frac{1}{2}
Por http://omaforos.com.ar/viewtopic.php?f=4&t=300 sabemos que [math]S=\frac{\frac{1}{3^{n+1}}-1}{\frac{1}{3}-1}-1
=\frac{3^{n+1}-1}{3^n.2}-1. Supongamos que [math]S>\frac{1}{2}, luego [math]3^{n+1}-1>\frac{3}{2}.3^n.2=3^{n+1}. Absurdo, entonces demostramos lo que queríamos.
Supongamos que en algún momento dado llegamos a tener [math]k números iguales, que este sea el número que estamos buscando y que todos los demás números estén [math]k o menos veces repetidos (esto necesariamente pasa en algún momento, ya que si no el número buscado sería mayor a [math]k). Ahora bien, debemos notar que la suma total de todos los números en cada paso es invariante, entonces es siempre igual a [math]1000; luego si sumamos todos los números distintos que tenemos en este paso [math]k veces cada uno, esto nos va a dar mayor o igual a [math]1000. Es decir, [math]k.\frac{3}{2}\geq k(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^n})=1.k+\frac{1}{3}k+...+\frac{1}{3^n}k\geq 1000. De esto sale que [math]k\geq 667, es decir que sin importar cuántas ni qué operaciones se hayan realizado va a haber algún número que se va a repetir por lo menos [math]667 veces.
Notemos que la suma de todos los terminos es invariente, es siempre $1000$. Ahora tomemos un momento arbitrario. Supongamos que tenemos $a_i$ numeros de la forma $\frac{1}{3^i}$. Supongamos que todos los numeros aparecen menos de $667$ veces. Sea $b_i=\frac{1}{3^i}$. Evaluemos la suma en este momento:
$1000=\sum \limits _{i=0}^{\infty}{a_ib_i}\leq{666\left (\sum \limits _{i=0}^{\infty}{b_i}\right )=666\times{\frac{3}{2}}}=999$, absurdo.
Ahora un ejemplito con $667$:
$a_0=a_1=a_2=a_3=a_4=a_5=667$ y $a_6=636$. Para llegar a el, fijamos $a_0$, vemos que se puede fijar $a_1$ y asi hasta $a_6$, ademas $667\left (1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^5}\right )+\frac{636}{3^6}=1000$
Observemos en primer lugar que si [math]S es la suma de los números en cierto momento, al aplicar la opercación permitida, su valor no cambia, porque estamos cambiando [math]a por tres números [math]\frac {a}{3}, cuya suma es [math]a.
entonces la suma de todos los números es siempre [math]1000.
Veamos también que siempre hay números de la forma [math]\frac {1}{3^i} con [math]i\geq 0. Sea [math]a_i la cantidad de números [math]\frac {1}{3^i} en un determinado paso. Supongamos que el menor número que se escribe es [math]\frac {1}{3^k}. Entonces: [math]a_0+a_1.\frac {1}{3}+a_2.\frac {1}{9}+...+a_k.\frac {1}{3^k}=1000
Multiplicando los dos miembros por [math]3^k: [math]a_0.3^k+a_1.3^{k-1}+a_2.3^{k-2}+...+a_{k-1}.3+a_k=3^k.1000
Supongamos que existe un paso del juego en el cual no hay más de [math]666 números iguales. Entonces: [math]a_i\leq 666 [math]a_0.3^k+a_1.3^{k-1}+a_2.3^{k-2}+...+a_{k-1}.3+a_k\leq 666(3^k+3^{k-1}+...+9+3+1) [math]3^k.1000\leq 666 (3^k+3^{k-1}+...+9+3+1)
Por la suma de los términos de una progresión geométrica: [math]3^k.1000\leq 666.\frac {3^{k+1}-1}{2}<666.\frac {3^{k+1}}{2} [math]\frac {2000}{666}<\frac {3^{k+1}}{3^k}=3 [math]2000<1998
Absurdo.
Por ello, siempre debe haber por lo menos [math]667 números iguales en cada paso. Se puede encontrar un ejemplo fácil con [math]667, con lo cual, se descarta que pueda ser mayor el número buscado. Este ejemplo se consigue así:
1) Se dejan de lado [math]667 números [math]1 y los demás se transforman en números [math]\frac {1}{3}
2) Se dejan de lado [math]667 números [math]\frac {1}{3} y los demás se transforman en [math]\frac {1}{9}
Se sigue de esta forma hasta que quedan: [math]636 números [math]\frac {1}{3^6}; [math]667 números [math]\frac {1}{3^5}; [math]667 números [math]\frac {1}{3^4};[math]667 números [math]\frac {1}{3^3}; [math]667 números [math]\frac {1}{3^2}; [math]667 números [math]\frac {1}{3} y [math]667 números [math]1.
