Nacional 2014 N3 P1

[LuchoLP]

Son dados [math]201 números enteros positivos en una fila. El primero y el último de ellos son iguales a [math]19999. Cada uno de los restantes números es menor que el promedio de sus vecinos y la diferencia entre cada uno de los restantes números y el promedio de sus vecinos es siempre el mismo entero. Hallar el anteúltimo número de la fila.

[Matías V5]

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Por comodidad, denotemos [math]A = 19999.
Sean [math]a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{200} los números de la fila, ordenados de izquierda a derecha.
Sabemos que [math]a_0 = a_{200} = A.
Si [math]p es el promedio entre [math]a_0 y [math]a_2, entonces [math]a_2 = 2p - A. Además, por la condición del enunciado, sabemos que [math]a_1 = p-k donde [math]k es un entero positivo fijo.
Ahora, [math]a_2 es el promedio entre [math]a_1 y [math]a_3 disminuido en [math]k, es decir que [math]\frac{a_1+a_3}{2} = 2p - A + k. De aquí se puede despejar que [math]a_3 = 3p - 2A + 3k.
Análogamente, [math]a_3 es el promedio entre [math]a_2 y [math]a_4 disminuido en [math]k, es decir que [math]\frac{a_2+a_4}{2} = 3p - 2A + 4k. De aquí se despeja [math]a_4 = 4p - 3A + 8k.
Haciendo un par de veces más estas cuentas se vuelve fácil encontrar el patrón. Lo que termina sucediendo es que [math]a_n = np - (n-1)A + \left[ (n-1)^2 - 1 \right] k para todo [math]n. Es fácil y aburrido probar esta afirmación por inducción.
En particular para [math]n=200 nos queda que [math]a_{200} = 200p - 199A + (199^2-1)k = 200p - 199A + 200 \cdot 198 k. Pero también teníamos que [math]a_{200} = A. Igualando ambas expresiones, pasando las [math]A sumando y dividiendo todo por [math]200, llegamos a que [math]A = p + 198k, o sea, [math]p = A - 198k. Ahora reemplazamos esto en la expresión que habíamos encontrado para [math]a_n y obtenemos [math]a_n = A + (n^2 - 200n)k. En particular, para [math]n=100 nos queda [math]a_{100} = A - 10000k. Como todos los términos de la sucesión son enteros positivos, la única posibilidad es [math]k=1, pues [math]A es menor que [math]2 \cdot 10000. Ahora sólo falta calcular [math]a_{199} = A + 199^2 - 200 \cdot 199 = A + 199 \cdot (199 - 200) = A - 199 = 19800. [math]\blacksquare