Regional 1997 N3 P1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
gabychango
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Regional 1997 N3 P1

Mensaje sin leer por gabychango » Mié 03 Jul, 2013 8:28 pm

Hallar todos los numeros naturales [math] tales que [math] es un numero primo.
ACLARACION: Los corchetes indican la parte entera del numero que encierran.
Por ejemplo, [math], [math]

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Ivan

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Re: Regional 1997 N3 P1

Mensaje sin leer por Ivan » Mié 03 Jul, 2013 8:43 pm

Spoiler: mostrar
Escribamos [math], con [math].
Tenemos
[math]
Luego
[math]
Ahora separamos en casos según el valor de [math]:
  • Caso r=0:
    Tenemos que [math] y la única solución es [math] (o sea [math]).
  • Caso r=1:
    Tenemos que [math] y la única solución es [math] (o sea [math]).
  • Caso r=2:
    Tenemos que [math] y el único valor de [math] que podría andar es [math], que no funciona.
  • Caso r=3:
    Tenemos que [math] el único valor de [math] que podría andar es [math], pero no funciona.
  • Caso r=4:
    Tenemos que [math] y la única solución es [math] (o sea [math]).
Entonces las únicas soluciones son [math], [math] y [math].
1  
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mredigonda
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Re: Regional 1997 N3 P1

Mensaje sin leer por mredigonda » Dom 03 Sep, 2017 4:10 pm

Spoiler: mostrar
Los únicos restos posibles de [math] en la división por [math] son [math], [math] y [math].
Tenemos que:
[math]

Veamos el caso en que [math], esto implica que [math] ya que [math] es primo y por lo tanto existe inverso. Por lo tanto podemos decir que
[math]

Nuestro objetivo era obtener [math] primo, la única forma es si [math]. Con esto obtenemos el primer caso, [math].
Ahora veamos el caso [math] entonces [math]. Este valor es primo sii:
[math]

Esto nos da otras dos soluciones: [math] y [math].
Por último, si [math] entonces [math]. Este valor es primo sii:
[math]

Con esto determinamos que no hay soluciones con [math].
Por lo tanto, las únicas soluciones son [math], [math] y [math].
4  

Peznerd
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Re: Regional 1997 N3 P1

Mensaje sin leer por Peznerd » Vie 08 Nov, 2019 11:42 pm

Ivan escribió:
Mié 03 Jul, 2013 8:43 pm
Spoiler: mostrar
Escribamos $n=5k+r$, con $0\leq r<5$.
Tenemos $$\frac{n^2}{5}=\frac{(5k+r)^2}{5}=\frac{25k^2+10kr+r^2}{5}=5k^2+2kr+\frac{r^2}{5}$$ Luego $$\left\lfloor \frac{n^2}{5}\right\rfloor = 5k^2+2kr+\left\lfloor \frac{r^2}{5} \right\rfloor$$ Ahora separamos en casos según el valor de $r$:
  • Caso r=0:
    Tenemos que $\left\lfloor \frac{n^2}{5}\right\rfloor = 5k^2$ y la única solución es $k=1$ (o sea $n=5$).
  • Caso r=1:
    Tenemos que $\left\lfloor \frac{n^2}{5}\right\rfloor = 5k^2+2k=k(5k+2)$ y la única solución es $k=1$ (o sea $n=6$).
  • Caso r=2:
    Tenemos que $\left\lfloor \frac{n^2}{5}\right\rfloor = 5k^2+4k=k(5k+4)$ y el único valor de $k$ que podría andar es $k=1$, que no funciona.
  • Caso r=3:
    Tenemos que $\left\lfloor \frac{n^2}{5}\right\rfloor = 5k^2+6k+1=(k+1)(5k+1)$ el único valor de $k$ que podría andar es $k=0$, pero no funciona.
  • Caso r=4:
    Tenemos que $\left\lfloor \frac{n^2}{5}\right\rfloor = 5k^2+8k+3=(k+1)(5k+3)$ y la única solución es $k=0$ (o sea $n=4$).
Entonces las únicas soluciones son $n=4$, $n=5$ y $n=6$.
Para cada $r$ no entiendo de dónde sacás cada solución ¿Por qué $k > 1$ es falso para $r=0$? No lo explicas para ningún caso y no me parece para nada obvio.
Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme

$$\int u \, dv=uv-\int v \, du\!$$

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Ivan

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Re: Regional 1997 N3 P1

Mensaje sin leer por Ivan » Sab 09 Nov, 2019 5:38 pm

Peznerd escribió:
Vie 08 Nov, 2019 11:42 pm
Para cada $r$ no entiendo de dónde sacás cada solución ¿Por qué $k > 1$ es falso para $r=0$? No lo explicas para ningún caso y no me parece para nada obvio.
Si $5k^2$ es un número primo entonces $k=1$. En los otros casos la idea es la misma: tenemos una factorización de un número que queremos que sea primo, entonces alguno de los factores tiene que ser uno.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

Peznerd
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Re: Regional 1997 N3 P1

Mensaje sin leer por Peznerd » Sab 09 Nov, 2019 11:17 pm

Ivan escribió:
Sab 09 Nov, 2019 5:38 pm
Peznerd escribió:
Vie 08 Nov, 2019 11:42 pm
Para cada $r$ no entiendo de dónde sacás cada solución ¿Por qué $k > 1$ es falso para $r=0$? No lo explicas para ningún caso y no me parece para nada obvio.
Si $5k^2$ es un número primo entonces $k=1$. En los otros casos la idea es la misma: tenemos una factorización de un número que queremos que sea primo, entonces alguno de los factores tiene que ser uno.
¡Brillante! Genial tu resolución.
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$$\int u \, dv=uv-\int v \, du\!$$

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