ONEM 2019 - Fase 3 - Nivel 3 - P4

[luisq]

Sean $a$ y $b$ dos divisores del número $3920$ tales que $0<a<b<3920$.
Determine cuántos valores distintos puede tomar el máximo común divisor de $a$ y $b$.

[NPCPepe]

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$3920=2^4*5*7^2$
La factorización en primos de $b$ debe contener al menos un exponente menor al que tiene $3920$ en el mismo número primo ya que $b<3920$.
El MCD de $a$ y $b$ es un divisor de $b$ y es menor a $b$ ya que $MCD(a,b)<=a<b$ entonces el MCD de $a$ y $b$ debe contener al menos un exponente menor al que tiene $b$ en el mismo número primo.
Entonces se pueden obtener todos los divisores de $3920$ menos $3920$ y $3920$ dividido por un número primo ya que $MCD(a,b)$ debe ser igual a $3920$ dividido por un entero mayor a $1$ y después por otro entero mayor a $1$.
si $P$ son las posibilidades, $P=(4+1)(1+1)(2+1)-3-1=26$, estos $26$ números se pueden obtener cuando $b$ es divisor de $3920$ menor a $3920$ y $a=mcd(a, b)$, es decir cuando $a$ es divisor de $b$ menor a $b$