Olimpiada de Mayo 2024 N2 P3

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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BR1

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Olimpiada de Mayo 2024 N2 P3

Mensaje sin leer por BR1 »

Ana escribe una lista infinita de números con el siguiente procedimiento. El primer número de la lista es un entero positivo $a$ elegido por Ana. A partir de allí, cada número de la lista se obtiene calculando la suma de todos los números enteros entre $1$ y el último número escrito. Por ejemplo, si $a=3$, la lista de Ana comienza con $3,6,21,231,\ldots$ porque $1+2+3=6$, $1+2+3+4+5+6=21$, $1+2+3+\ldots +21=231$. Determinar si es posible que todos los números de la lista de Ana sean pares.
ACLARACIÓN: $1$ no es primo
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marcoalonzo

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Re: Olimpiada de Mayo 2024 N2 P3

Mensaje sin leer por marcoalonzo »

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Notemos que por Suma de Gauss, la sucesión de la lista para $n\geq2$ está definida por $$a_n=\dfrac{a_{n-1}(a_{n-1}+1)}{2}$$Vamos a demostrar por inducción en $k$ que cada término de la sucesión es divisible por $2^k$ para todo entero positivo $k$, lo que implicaría que cada término es $0$. Para $k=1$ la afirmación es cierta por el enunciado.
Supongamos entonces como hipótesis inductiva que el resultado es cierto para algún entero positivo $k$. Veamos que también vale para $k+1$. En efecto, como $a_n=\dfrac{a_{n-1}(a_{n-1}+1)}{2}$ es divisible por $2^k$ para todo $n\geq2$, resulta que en el numerador hay al menos $2^{k+1}$ factores $2$, y dado que $a_{n-1}$ y $a_{n-1}+1$ son coprimos resulta que exactamente uno de $a_{n-1}, a_{n-1}+1$ tiene al menos $2^{k+1}$ factores $2$. Entonces, para todo $n\geq2$, $a_{n-1}$ tiene resto $0$ o $2^{k+1}-1$ módulo $2^{k+1}$. Notemos que si $a_{n-1}\equiv -1\pmod{2^{k+1}}$ entonces sería impar, absurdo. Se sigue que $a_{n-1}\equiv0\pmod{2^{k+1}}$ para todo $n\geq2$, de modo que cada término de la sucesión es divisible por $2^{k+1}$, como queríamos demostrar.
Luego cada término tiene infinitos divisores, con lo que cada término es $0$, que no es un entero positivo, absurdo.
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