Olimpiada de Mayo 2024 N2 P3

[BR1]

Ana escribe una lista infinita de números con el siguiente procedimiento. El primer número de la lista es un entero positivo $a$ elegido por Ana. A partir de allí, cada número de la lista se obtiene calculando la suma de todos los números enteros entre $1$ y el último número escrito. Por ejemplo, si $a=3$, la lista de Ana comienza con $3,6,21,231,\ldots$ porque $1+2+3=6$, $1+2+3+4+5+6=21$, $1+2+3+\ldots +21=231$. Determinar si es posible que todos los números de la lista de Ana sean pares.

[marcoalonzo]

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Notemos que por Suma de Gauss, la sucesión de la lista para $n\geq 2$ está definida por $$a_n=\dfrac{a_{n-1}(a_{n-1}+1)}{2}$$Vamos a demostrar por inducción en $k$ que cada término de la sucesión es divisible por $2^k$ para todo entero positivo $k$, lo que implicaría que cada término es $0$. Para $k=1$ la afirmación es cierta por el enunciado.
Supongamos entonces como hipótesis inductiva que el resultado es cierto para algún entero positivo $k$. Veamos que también vale para $k+1$. En efecto, como $a_n=\dfrac{a_{n-1}(a_{n-1}+1)}{2}$ es divisible por $2^k$ para todo $n\geq 2$, resulta que en el numerador hay al menos $k+1$ factores $2$, y dado que $a_{n-1}$ y $a_{n-1}+1$ son coprimos resulta que exactamente uno de $a_{n-1}, a_{n-1}+1$ tiene al menos $2^{k+1}$ factores $2$. Entonces, para todo $n\geq 2$, $a_{n-1}$ tiene resto $0$ o $2^{k+1}-1$ módulo $2^{k+1}$. Notemos que si $a_{n-1}\equiv -1\pmod{2^{k+1}}$ entonces sería impar, absurdo. Se sigue que $a_{n-1}\equiv 0\pmod{2^{k+1}}$ para todo $n\geq 2$, de modo que cada término de la sucesión es divisible por $2^{k+1}$, como queríamos demostrar.
Luego cada término tiene infinitos divisores, con lo que cada término es $0$, que no es un entero positivo, absurdo.

[lendsarctic280]

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Suponhamos que é possível. Obrigatoriamente, $a$ é um par. Se $a\in\mathbb{Z}^+$, $a\geqslant2$. Vamos tomar como exemplo $a=4$. A lista será $4,10,55$ e perdemos no $3^\circ$ termo, pois para satisfazer, devemos somar uma quantidade par de números ímpares e uma quantidade par de números ímpares. Então somaremos $x$ pares e $y$ ímpares, totalizando $2x+2y=2(x+y)$ números, onde se $x+y$ é par, então $2(x+y)$ é múltiplo de $2^2=4$. Finalmente, por essa última informação, concluímos que é impossível pois:
Caso o $1^\circ$ termo possua $k$ fatores $2$, então será múltiplo de $2^k$. Daí, o próximo termo será múltiplo de $2^{k-1}$, uma vez que o $2^\circ$ termo será igual a somar fatores módulo $a$ de $1+2+3\cdots+(a-1)+0\cdots$. Com $a=8$, por exemplo, teríamos que o $2^\circ$ termo seria $36$, que é igual a $2^k\times3^2 \Rightarrow k=2$. Isso acontece pois se $2^k\mid a$, então a soma dos possíveis restos módulo $a$ será múltipla de $2^{k-1}$, pois pela "soma de restos" anterior, o último termo é $a-1$, um número ímpar, então esse número NÃO pode ter a mesma quantidade de fatores $2$ que $a$. Logo, uma hora teremos um termo $K$ tal que $K$ é múltiplo de $2^k$ com $k=0$, tornando esse número ímpar. NÃO é possível. $\bigstar$

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