Intercolegial 2022 N3 P2

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Gianni De Rico

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Intercolegial 2022 N3 P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Se distribuyen los $14$ números desde el $2$ hasta el $15$ en dos grupos. Sea $A$ la multiplicación de los números de un grupo y $B$ la multiplicación de los números del otro grupo. Dar una distribución de los $14$ números en dos grupos de modo que la fracción $\dfrac{A}{B}$ se un número entero lo menor posible y calcular su valor.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850
manueloribe
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Re: Intercolegial 2022 N3 P2

Mensaje sin leer por manueloribe »

Gianni De Rico escribió: Jue 26 May, 2022 7:26 pm Se distribuyen los $14$ números desde el $2$ hasta el $15$ en dos grupos. Sea $A$ la multiplicación de los números de un grupo y $B$ la multiplicación de los números del otro grupo. Dar una distribución de los $14$ números en dos grupos de modo que la fracción $\dfrac{A}{B}$ se un número entero lo menor posible y calcular su valor.
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Decir que $\frac{A}{B}$ es entero es decir que el producto de los primos de $B=p_1\cdot p_2\cdots p_n$ todos dividen a A. Los factores primos de los números del $2$ al $15$ son:
$2=2$
$3=3$
$4=2\cdot 2$
$5=5$
$6=2\cdot 3$
$7=7$
$8=2\cdot 2\cdot 2$
$9=3\cdot 3$
$10=2\cdot 5$
$11=11$
$12=2\cdot 2\cdot 3$
$13=13$
$14=2\cdot 7$
$15=3\cdot 5$
Con esto dicho, $11$ y $13$ tienen que estar en el numerador necesariamente. Similarmente, podemos encontrar que $11$ repeticiones del número $2$. Para mantener el numerador lo menor posible pero la fracción entera, $6$ van al numerador y $5$ al denominador. Hay $6$ repeticiones de $3$, $3$ de $5$ y $2$ de $7$. Se usa el mismo método para meterlos en uno de los dos conjuntos.$$\frac{A}{B}=\frac{11\cdot 13\cdot 2^6\cdot 3^3\cdot 5^2 \cdot 7}{2^5\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7}=\frac{43243200}{30420}=1430.$$Finalmente, hay que encontrar los dos conjuntos. Mi solución fue: $X=\{11,13,6,12,4,15,7,10\}$, $Y=\{2,3,8,9,14,5\}$.
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