Intercolegial 2022 N2 P2

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020
FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años
OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022
Mensajes: 1923
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 14
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Intercolegial 2022 N2 P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

En el pizarrón están escritos todos los números de $8$ dígitos que son múltiplos de $15$ y tales que sus dígitos son exclusivamente $0$ y $8$. Determinar la cantidad de números que están escritos en el pizarrón.

ACLARACIÓN. El primer dígito (de la izquierda) no puede ser cero.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850
manueloribe
Mensajes: 6
Registrado: Jue 12 Sep, 2019 8:46 pm
Nivel: 1

Re: Intercolegial 2022 N2 P2

Mensaje sin leer por manueloribe »

Spoiler: mostrar
Como los numeros solo pueden ser 0 y 8, y el primer digito no puede ser 0, el primer digito es 8.
El numero va a ser para todas las posibilidades multiplo de 15, es decir, multiplo de 3 y 5. La regla de divisibilidad del 15 es que termine en 5 o 0, pero como en 5 no puede terminar aca, el ultimo digito es 0. Por ahora, los numeros toman la forma de 8bcdefg0. Sabemos que la suma de los digitos es multiplo de 3, es decir que sus digitos suman a un multiplo de 3, o sea que hay un multiplo de 3 numero de ochos en el numero(que puede ser 3 o 6).
En el caso que sean 3, tenemos que elegir la posicion de los ultimos dos digitos en una serie de 6, que es el numero combinatorio de 6 y 2 $C_2^6=15$, pero en el caso que sean 6, tenemos que elegir la posicion de los ultimos cinco digitos en una serie de 6, que es $C_5^6=6$ para un total de 21 posibilidades. Se pueden elistar:
1. $ 80008080 = 5333872 \cdot 15$
2. $ 80080080 = 5338672 \cdot 15$
3. $ 80800080 = 5386672 \cdot 15$
4. $ 88000080 = 5866672 \cdot 15$
5. $ 80008800 = 5333920 \cdot 15$
6. $ 80080800 = 5338720 \cdot 15$
7. $ 80800800 = 5386720 \cdot 15$
8. $ 88000800 = 5866720 \cdot 15$
9. $ 80088000 = 5339200 \cdot 15$
10. $ 80808000 = 5387200 \cdot 15$
11. $ 88008000 = 5867200 \cdot 15$
12. $ 80880000 = 5392000 \cdot 15$
13. $ 88080000 = 5872000 \cdot 15$
14. $ 88800000 = 5920000 \cdot 15$
15. $ 88888800 = 5925920 \cdot 15$
16. $ 88888080 = 5925872 \cdot 15$
17. $ 88880880 = 5925392 \cdot 15$
18. $ 88808880 = 5920592 \cdot 15$
19. $ 88088880 = 5872592 \cdot 15$
20. $ 80888880 = 5392592 \cdot 15$
21. $ 80000880 = 5333392 \cdot 15$
1  
Responder