En el pizarrón están escritos todos los números de $8$ dígitos que son múltiplos de $15$ y tales que sus dígitos son exclusivamente $0$ y $8$. Determinar la cantidad de números que están escritos en el pizarrón.
ACLARACIÓN. El primer dígito (de la izquierda) no puede ser cero.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850
Como los numeros solo pueden ser 0 y 8, y el primer digito no puede ser 0, el primer digito es 8.
El numero va a ser para todas las posibilidades multiplo de 15, es decir, multiplo de 3 y 5. La regla de divisibilidad del 15 es que termine en 5 o 0, pero como en 5 no puede terminar aca, el ultimo digito es 0. Por ahora, los numeros toman la forma de 8bcdefg0. Sabemos que la suma de los digitos es multiplo de 3, es decir que sus digitos suman a un multiplo de 3, o sea que hay un multiplo de 3 numero de ochos en el numero(que puede ser 3 o 6).
En el caso que sean 3, tenemos que elegir la posicion de los ultimos dos digitos en una serie de 6, que es el numero combinatorio de 6 y 2 $C_2^6=15$, pero en el caso que sean 6, tenemos que elegir la posicion de los ultimos cinco digitos en una serie de 6, que es $C_5^6=6$ para un total de 21 posibilidades. Se pueden elistar:
1. $ 80008080 = 5333872 \cdot 15$
2. $ 80080080 = 5338672 \cdot 15$
3. $ 80800080 = 5386672 \cdot 15$
4. $ 88000080 = 5866672 \cdot 15$
5. $ 80008800 = 5333920 \cdot 15$
6. $ 80080800 = 5338720 \cdot 15$
7. $ 80800800 = 5386720 \cdot 15$
8. $ 88000800 = 5866720 \cdot 15$
9. $ 80088000 = 5339200 \cdot 15$
10. $ 80808000 = 5387200 \cdot 15$
11. $ 88008000 = 5867200 \cdot 15$
12. $ 80880000 = 5392000 \cdot 15$
13. $ 88080000 = 5872000 \cdot 15$
14. $ 88800000 = 5920000 \cdot 15$
15. $ 88888800 = 5925920 \cdot 15$
16. $ 88888080 = 5925872 \cdot 15$
17. $ 88880880 = 5925392 \cdot 15$
18. $ 88808880 = 5920592 \cdot 15$
19. $ 88088880 = 5872592 \cdot 15$
20. $ 80888880 = 5392592 \cdot 15$
21. $ 80000880 = 5333392 \cdot 15$
