APMO 2022 P1

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Gianni De Rico

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APMO 2022 P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Hallar todas las parejas $(a,b)$ de números enteros positivos tales que $a^3$ es múltiplo de $b^2$ y $b-1$ es múltiplo de $a-1$.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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Tob.Rod

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Re: APMO 2022 P1

Mensaje sin leer por Tob.Rod »

Spoiler: mostrar
$a-1|b-1$ nos deja dos casos:
Caso 1_ $b-1 = 0 \to b=1$ lo que nos da la pareja $(a,1)$ que claramente funciona para todo $a$.
Caso 2_ $a - 1 ≤ b -1 \to a ≤b$
Escribamos
$a^3 = b^2 \cdot k$, con $k$ entero positivo.
Por $a ≤b$, tenemos que $k≤a$. Llamemos a este (Facto 1).
Tenemos:
$a-1 |b-1 \to a-1 | b^2 -1 = \frac{a^3}{k} - 1 \to a-1 | a^3 -k$
Por $a^3 -1 = (a-1)(a^2 +a +1) \to a-1 | a^3 -1$
Restando el de arriba con la de abajo llegamos al (Facto 2):
$a-1 | k-1 \to a ≤ k$

Juntando los dos factos:
$a≤k≤a \to k=a \to a^3 = b^2 \cdot a \to a=b$
Vemos que toda pareja $(a,a)$ funciona, así que todas las parejas que cumplen la condición son:
$(a,1)$ y $(a,a)$, para todo $a$ entero positivo.
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