Vladislao
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por Vladislao » Lun 12 Dic, 2011 4:01 pm
Demostrar que, para todo [math] n natural:
[math] \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2}<2
PD: No vale ser chanta y usar el problema de Basilea.
Sea [math] \theta = 1,3063778838... Para todo entero positivo [math] k se cumple que [math] \left\lfloor \theta^{3^k}\right\rfloor es un número primo.
Ivan
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por Ivan » Vie 24 Feb, 2012 6:36 pm
Spoiler: mostrar A veces cuando uno intenta probar una cota por inducción resulta más fácil probar una cota mas fuerte que la que se pide.
Por ejemplo, no se puede hacer inducción directamente para probar que [math] \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2}<2 .
Pero si podemos probar por inducción que [math] \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} \leq 2-\frac{1}{n} .
Para [math] n=1 es verdad: [math] \frac{1}{1^2} = 1\leq 1=2-\frac{1}{1} .
Ahora supongamos que vale para [math] n y probemos que vale para [math] n+1 . Se tiene que [math] \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} \leq 2-\frac{1}{n} .
Entonces [math] \sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{i^2} =\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} + \frac{1}{(n+1)^2} \leq 2-\frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^2}< 2-\frac{1}{n+1} .
En el ultimo paso usamos que:
[math] \begin{align*} & 2-\frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^2}< 2-\frac{1}{n+1} \Leftrightarrow \\ & \frac{1}{n+1}+ \frac{1}{(n+1)^2}<\frac{1}{n} \Leftrightarrow \\ &n(n+1) + n< (n+1)^2 \Leftrightarrow \\ & 0<1 \end{align*}
Entonces por inducción, para todo [math] n tenemos que [math] \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} \leq 2-\frac{1}{n}<2 como queríamos.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
Gianni De Rico
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por Gianni De Rico » Lun 21 Sep, 2020 6:24 pm
Spoiler: mostrar Notar que$$\begin{align*}\sum \limits _{i=1}^n\frac{1}{i^2} & <1+\sum \limits _{i=2}^n\frac{1}{i^2-\frac{1}{4}} \\
& =1+\sum \limits _{i=2}^n\frac{1}{i-\frac{1}{2}}-\frac{1}{i+\frac{1}{2}} \\
& =1+\frac{2}{3}-\frac{1}{n+\frac{1}{2}} \\
& <\frac{5}{3} \\
& <2
\end{align*}$$donde en la segunda igualdad usamos que la suma es una telescópica.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫