Una progresión aritmética

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Fran5

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Una progresión aritmética

Mensaje sin leer por Fran5 » Lun 29 Jun, 2020 6:54 pm

Se tiene una progresión aritmética $a_1,a_2,...,a_n$ estrictamente creciente de números naturales tal que $a_1+a_4+ \ldots +a_{100}=1000$, donde la suma recorre los primeros diez términos de la forma $a_{i^2}$.

Si $a_1$ se puede escribir de la forma $10x+y$ con $x, y$ enteros no negativos tales que $y<10$, hallar $x^y(y-x)^x(x+y) $

ACLARACIÓN: Una progresión aritmética $a_1,a_2,...,a_n$ estrictamente creciente es aquella tal que $a_{i+1} = a_i + d > a_i$, es decir, tal que la diferencia entre dos términos consecutivos de la progresión es siempre una misma constante $d>0$.
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NPCPepe

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Re: Una progresión aritmética

Mensaje sin leer por NPCPepe » Lun 29 Jun, 2020 11:59 pm

Spoiler: mostrar
$a_1+a_4+a_9+...+a_{100}=10a_1+3d+8d+15d...+99d=10a_1+375d=1000$
$a_1$ es entero positivo y $a_2=a_1+d>d$ es entero positivo así que $d$ es entero positivo
$10a_1+375d=1000$, $5a_1+\frac{375}{2}d=500$, $\frac{375}{2}d$ es entero positivo, $d$ es par
$10a_1+750(\frac{1}{2}d)=1000$, $a_1+75(\frac{1}{2}d)=100$
$75(\frac{1}{2}d)<100$
$0<(\frac{1}{2}d)<=1$
$d=2$, $a_1=25$
$25\equiv{5}$ $mod(10)$, $x=2$, $y=5$, $x^y(y−x)^x(x+y)=2^5*3^2*7=2016$
$3=569936821221962380720^3+(-569936821113563493509)^3+(-472715493453327032)^3$: esta es la tercer menor solucion descubierta para la ecuación $a^3+b^3+c^3=3$ , las otras dos son $1^3+1^3+1^3=3$ y $4^3+4^3+(-5)^3=3$

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