Problema 4 Nivel 2 Mayo 2019

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Turko Arias

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Problema 4 Nivel 2 Mayo 2019

Mensaje sin leer por Turko Arias » Vie 26 Jul, 2019 5:10 am

Encontrar el menor número entero positivo $N$ de dos o más dígitos que tiene la siguiente propiedad: Si insertamos cualquier dígito no nulo $d$ entre cualesquiera dos dígitos adyacentes de $N$ obtenemos un número que es múltiplo de $d$.

BrunZo

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Re: Problema 4 Nivel 2 Mayo 2019

Mensaje sin leer por BrunZo » Vie 26 Jul, 2019 12:53 pm

Solución:
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Podemos ignorar la condición para $d=1$.
La condición para $d=2$, $d=4$, $d=8$ implica que, si $N$ tiene más de $3$ dígitos, entonces es múltiplo de $8$. (Es fácilmente analizable que ningún número de menos de $3$ dígitos no anda).
La condición para $d=3$, $d=9$ es análoga a que $N$ sea divisible por $9$.
La condición para $d=5$ implica que $N$ es múltiplo de $5$.
Hasta ahora, tenemos que $N$ es múltiplo de $8\cdot 9\cdot 5=360$.
Analicemos la condición para $d=7$: Esta implica que, si el número se puede escribir como $10^na+b$ para $b$ con $n$ dígitos, entonces $7\mid 10^{c+1}a+b$ (esto es, insertamos un $7$ entre las secuencias de dígitos $a$ y $b$). Esto es, si $N=\overline{d_1d_2d_3\cdots d_n}$, entonces los números
$$N_1=\overline{d_10d_2d_3\cdots d_n},\quad N_2=\overline{d_1d_20d_3\cdots d_n},\quad N_3=\overline{d_1d_2d_30\cdots d_n},\quad\dots,\quad N_{n-1}=\overline{d_1d_2d_3\cdots 0d_n}$$
son todos múltiplos de $7$. En particular, $N_{i+1}-N_i=10^{n-i-1}(\overline{d_{i+1}0}-\overline{0d_{i+1}})=10^{n-i-1}9d_{i+1}$ es múltiplo de $7$. Esto es, $d_{i+1}\in\{0,7\}$ para todo $i\leq n-2$. Para agregar, $360\mid N$ implica $d_n=0$. Pero si $d_i\in \{0,7\}$ para todo $i\in [2,n]$, entonces, $7\mid N_1$ también implica que $d_1=7$ (porque no puede ser $0$).
En conclusión, la condición para $d=7$ es análoga a que los dígitos del número sean $0$ ó $7$.
Para finalizar, queremos el menor número con dígitos $0$ y $7$ que sea múltiplo de $360$. No es difícil de ver que el menor número es $777777777000$.

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