Problema 1 Nivel 1 Mayo 2019

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
Turko Arias

Colaborador OFO - Medalla de Plata OFO - Medalla de Oro FOFO Pascua 2019 - Medalla
Mensajes: 312
Registrado: Lun 28 Nov, 2011 11:39 am
Medallas: 4
Nivel: Ñandú
Ubicación: La Plata, Provincia de Buenos Aires

Problema 1 Nivel 1 Mayo 2019

Mensaje sin leer por Turko Arias » Vie 26 Jul, 2019 2:12 am

Hallar todos los números de dos dígitos $\overline{ab}$ que elevados al cuadrado dan un resultado donde los dos últimos dígitos son $\overline{ab}$.

Avatar de Usuario
DiegoLedesma
Mensajes: 50
Registrado: Vie 28 Jul, 2017 9:21 pm
Nivel: Otro

Re: Problema 1 Nivel 1 Mayo 2019

Mensaje sin leer por DiegoLedesma » Sab 27 Jul, 2019 12:09 am

Spoiler: mostrar
Siendo $ab$ un número de 2 dígitos, la condición para esto será $a$ $\neq$ $0$
Sea $ab=10a+b$ $\Rightarrow$ $(ab)^{2}=(10a+b)^{2}=100*a^{2}+2*10*a*b+b^{2}$. Por esto podemos decir que la unidad del resultado de $(ab)^{2}$ que por enunciado se pide que sea $b$, sólo dependerá de la unidad de $b^{2}$ (pues $b^{2}=...b$).
Luego buscamos los dígitos que satisfacen esta condición, que serán $0$,$\;1$, $\;5$ y $\;6$.
*Para $b=0$: $(10a+0)^{2}=100*a^{2}$ (no es solución, pues en este caso $ab=00$)
*Para $b=1$: $(10a+1)^{2}=100*a^{2}+2*10*a+1^{2}$ [no es solución, pues en este caso la decena siempre tomará el valor doble de $a$, con lo que se obtendría: $ab=(2*a)b$]
*Para $b=5$: $(10a+5)^{2}=100*a^{2}+2*10*a*5+5^{2}$. En este caso, al existir acarreo ($5^{2}=25$) la decena será: $0*a+2=..a$ $\Rightarrow$ $a=2$ $\Rightarrow$ $ab=25$ $\Rightarrow$ $25^{2}=625$.
*Para $b=6$: $(10a+6)^{2}=100*a^{2}+2*10*a*6+6^{2}$. En este caso, al existir acarreo ($6^{2}=36$) la decena será: $2*a+3=..a$ $\Rightarrow$ $a=7$ $\Rightarrow$ $ab=76$ $\Rightarrow$ $76^2=5776$.
$\therefore$ Los únicos números $ab$ que satisfacen lo pedido son: $25$, $-25$, $76$ y $-76$.

Responder