Problema 2 Provincial OMA Nivel 1 2003

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Turko Arias

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Problema 2 Provincial OMA Nivel 1 2003

Mensaje sin leer por Turko Arias » Mar 04 Jun, 2019 10:56 pm

Cada uno de los números $\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \} $ se debe colorear de rojo o de azul
de modo que la multiplicación de todos los números azules dividida por la multiplicación de todos
los números rojos sea un número entero. Determinar cuál es el menor valor posible de ese entero.

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Re: Problema 2 Provincial OMA Nivel 1 2003

Mensaje sin leer por Turko Arias » Mar 04 Jun, 2019 11:10 pm

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Miramos a cada número como el conjunto de factores primos que aporta al producto total de cada color. Notemos que el $7$ va a tener que estar en alguno de los dos conjuntos, como solo hay uno entre todas las 10 factorizaciones, si lo pusiéramos abajo no iba a poder ser cancelado y por ende la división no sería entera, luego el $7$ tiene que ir arriba y nuestro entero buscado es múltiplo de $7$. Por otro lado notemos que los conjuntos $\{1,3,5,6,8 \}$ y $\{2,4,9,10 \}$ tienen el mismo producto, luego pintando todo el primer conjunto y el $7$ de rojo y todo el segundo conjunto de azul obtendremos que la división entre uno y otro es $7$ y por nuestra observación previa, concluimos que es la mínima.

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