EGMO 2019 - P5

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Gianni De Rico

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EGMO 2019 - P5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 10 Abr, 2019 6:43 pm

Sea $n\geqslant 2$ un número entero, y sean $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ enteros positivos. Muestre que existen enteros positivos $b_1,b_2,\ldots ,b_n$ que cumplen las siguientes tres condiciones:

(A) $a_i\leqslant b_i$ para todo $i=1,2,\ldots ,n$

(B) Los restos de dividir a $b_1,b_2,\ldots ,b_n$ por $n$ son todos distintos

(C) $b_1+b_2+\ldots +b_n\leqslant n\left (\frac{n-1}{2}+\left \lfloor \frac{a_1+a_2+\ldots +a_n}{n}\right \rfloor \right )$

Nota:
Denotamos por $\lfloor x\rfloor$ a la parte entera del número real $x$, es decir, al mayor entero que es menor o igual a $x$.
[math]

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