Selectivo Cono Sur 2019 P1

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Matías V5

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Selectivo Cono Sur 2019 P1

Mensaje sin leer por Matías V5 » Jue 28 Mar, 2019 9:26 pm

Alex hace las $365$ divisiones de $365$ por $1$, por $2$, por $3$, ..., por $365$, escribe los restos de estas divisiones en una lista y calcula la suma de los $365$ números de la lista. Luego Blas hace las $366$ divisiones de $366$ por $1$, por $2$, por $3$, ..., por $366$, escribe los restos de estas divisiones en una lista y calcula la suma de los $366$ números de la lista. Determinar cuál de los dos obtuvo una suma mayor y cuánta es la diferencia entre las dos sumas.
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

bruno
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Re: Selectivo Cono Sur 2019 P1

Mensaje sin leer por bruno » Vie 29 Mar, 2019 12:45 pm

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Sean $a_i$ los numeros de la lista de Alex donde el subindice es el divisor de la cuenta. De manera analoga defino los numeros de la lista de Blas como $b_i$.

Dado que $365$ y $366$ son enteros consecutivos entonces por aritmetica modular, si $i$ no es divisor de $366$ entonces $b_i=a_i+1$.

Los divisores propios de $366$ son $2,3,6,61,122$ y $183$. Y ademas como $365$ y $366$ son coprimos el unico divisor en comun es $1$. Por lo tanto puedo establecer las siguientes relaciones:

$a_{1}=0$
$a_{2}=1$
$a_{3}=2$
$a_{6}=5$ Todos los $b_i$ con estos subindices son $0$ pues $i$ es divisor de $366$. Ademas $b_{366}=0$ tambien.
$a_{61}=60$
$a_{122}=121$
$a_{183}=182$

Y para los demas $365-7=358$ restos en la lista de Alex se cumple $b_i=a_i+1$.

Entonces si llamo $\sum a_j$ a la sumatoria de los restos cuyos subindices no son divisores de $366$:

La suma de todos los numeros de Alex es $0+1+2+5+60+121+182+\sum a_j=371+\sum a_j$ y la suma de todos los numeros de Blas es $\sum a_j+358$.

Por lo tanto el que obtuvo una suma mayor es Alex y la difrencia entre las dos sumas es $371-358=13$

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