Decimos que un conjunto $X$ es ibérico si es subconjunto de $ \{2,3,\ldots ,2018\}$ y si para todo $a,b\in X$, $\text{mcd}(a,b)\in X$. Decimos que un conjunto es olímpico si no es subconjunto de algún conjunto ibérico.
Hallar todos los conjuntos olímpicos ibéricos que contienen el número $33$.
Para todo [math]k, existen [math]k primos en sucesión aritmética.
Notemos que en un conjunto ibérico no hay dos números coprimos por lo tanto los conjuntos buscados están integrados por múltiplos de $11$ y $3$.
Notemos también que el conjunto ibérico que contiene todos los múltiplos de $3$ menores a $2018$ y el que contiene a los de $11$ también son olímpicos (si agregamos otro número a alguno de estos conjuntos este número sería coprimo con $3$ o $11$).
Supongamos que hay un conjunto olímpico ibérico que contenga a los elementos $3a$ y $11b$ tales que $11$ no divide a $a$ y 3 no divide a $b$, $mcd(3a; 11b)= mcd(a;b)$ aparece en el conjunto pero $mcd(a;b)$ y $33$ son coprimos.
Supongo que un conjunto es olímpico si no es un subconjunto propio de un conjunto ibérico ¿No? Porque si no, no tendría sentido el enunciado (un conjunto no puede ser olímpico e ibérico a la vez)
Gianni De Rico escribió: ↑Mié 26 Sep, 2018 1:53 pm
Supongo que un conjunto es olímpico si no es un subconjunto propio de un conjunto ibérico ¿No? Porque si no, no tendría sentido el enunciado (un conjunto no puede ser olímpico e ibérico a la vez)
Exactamente, básicamente un conjunto olímpico es un conjunto ibérico maximal
Vemos fácil que en casa conjunto ibérico $I$ existe un número $d \geq 2$ tal que todo numero de $I$ es múltiplo de $d$. Caso contrario existirían $a, b$ tales que ningún divisor primo de $a$ es de $b$, con lo cual $mcd(a,b)=1$.
De este modo, cada conjunto ibérico es un subconjunto del conjunto de los múltiplos de $d$ entre $2$ y $2018$. En particular, $d$ es el menor elemento de conjunto.
Si en un conjunto ibérico $I$ tal $d$ no es primo, entonces podemos agregar a $I$ algún divisor $p$ de $d$. Para todo múltiplo $kd$ de $d$ se cumple que $mcd(p,kd)=p$ estará en $I$.
Por otro lado, si en un conjunto ibérico $I$ faltase algún múltiplo de $d$ podríamos agregar todos los que falten y seguiría siendo ibérico.
Luego todo conjuntos olímpico ibérico es el conjunto de los múltiplos de $p$ menores a $2018$, dónde $p$ es primo.
Con lo cual hay sólo dos conjuntos olímpicos ibéricos que contienen al $33$.
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro //
Tenemos $33=3\cdot 11$, luego, los dos conjuntos $A=\{g\in \mathbb{N}:2\le g\le 2018,3\mid g\}$ y $B=\{d\in \mathbb{N}:2\le d\le 2018,11\mid d\}$ son olímpicos (si agregamos algún número, será coprimo con $3$ u $11$, por lo que $1$ debería aparecer en el conjunto, absurdo) y contienen al $33$.
Ahora, cualquier número coprimo con $11$ y con $3$ será coprimo con $33$, luego, ningún conjunto ibérico puede contener al $33$ y a un número coprimo con $11$ y con $3$. Si un conjunto ibérico contiene al $33$ y a un múltiplo de $3$, todos sus elementos deben ser múltiplos de $3$, pero entonces o bien ese conjunto es $A$ o es un subconjunto propio de $A$, luego, no es olímpico. Análogamente, ningún conjunto distinto de $B$ puede ser olímpico y contener al $33$ y a un múltiplo de $11$.
Queda demostrado que los únicos conjuntos olímpicos ibéricos son $A$ y $B$.