Ibero 2018 - P4

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
Violeta

OFO - Mención-OFO 2017 FOFO 7 años - Medalla Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Bronce-OFO 2018 FOFO 8 años - Mención Especial-FOFO 8 años OFO - Medalla de Plata-OFO 2019
Mensajes: 405
Registrado: Sab 04 Jun, 2016 11:50 pm
Medallas: 5
Ubicación: Puerto Rico

Ibero 2018 - P4

Mensaje sin leer por Violeta »

Decimos que un conjunto $X$ es ibérico si es subconjunto de $ \{2,3,\ldots ,2018\}$ y si para todo $a,b\in X$, $\text{mcd}(a,b)\in X$. Decimos que un conjunto es olímpico si no es subconjunto de algún conjunto ibérico.

Hallar todos los conjuntos olímpicos ibéricos que contienen el número $33$.
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.
Avatar de Usuario
Joacoini

OFO - Medalla de Plata-OFO 2018 FOFO 8 años - Medalla Especial-FOFO 8 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Medalla-FOFO Pascua 2019 FOFO 9 años - Medalla Especial-FOFO 9 años
OFO - Medalla de Oro-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Copa-FOFO Pascua 2020 FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años
OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022 FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años
OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 460
Registrado: Jue 12 Oct, 2017 10:17 pm
Medallas: 16
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Ciudad Gotica

Re: Ibero 2018 - P4

Mensaje sin leer por Joacoini »

Spoiler: mostrar
Notemos que en un conjunto ibérico no hay dos números coprimos por lo tanto los conjuntos buscados están integrados por múltiplos de $11$ y $3$.

Notemos también que el conjunto ibérico que contiene todos los múltiplos de $3$ menores a $2018$ y el que contiene a los de $11$ también son olímpicos (si agregamos otro número a alguno de estos conjuntos este número sería coprimo con $3$ o $11$).

Supongamos que hay un conjunto olímpico ibérico que contenga a los elementos $3a$ y $11b$ tales que $11$ no divide a $a$ y 3 no divide a $b$, $mcd(3a; 11b)= mcd(a;b)$ aparece en el conjunto pero $mcd(a;b)$ y $33$ son coprimos.

En conclusión sólo hay $2$.
NO HAY ANÁLISIS.
Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020
FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años
OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022 FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años
OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 2212
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 18
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Ibero 2018 - P4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Supongo que un conjunto es olímpico si no es un subconjunto propio de un conjunto ibérico ¿No? Porque si no, no tendría sentido el enunciado (un conjunto no puede ser olímpico e ibérico a la vez)
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
Avatar de Usuario
Fran5

OFO - Medalla de Oro-OFO 2015 OFO - Jurado-OFO 2016 OFO - Jurado-OFO 2017 FOFO Pascua 2017 - Jurado-FOFO Pascua 2017 FOFO 7 años - Jurado-FOFO 7 años
OFO - Jurado-OFO 2018 FOFO 8 años - Jurado-FOFO 8 años OFO - Jurado-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Jurado-FOFO Pascua 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años
OFO - Jurado-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años
OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Medalla de Bronce-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022 FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años
FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 1125
Registrado: Mié 21 Mar, 2012 1:57 pm
Medallas: 22
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Santa Fe

Re: Ibero 2018 - P4

Mensaje sin leer por Fran5 »

Gianni De Rico escribió: Mié 26 Sep, 2018 1:53 pm Supongo que un conjunto es olímpico si no es un subconjunto propio de un conjunto ibérico ¿No? Porque si no, no tendría sentido el enunciado (un conjunto no puede ser olímpico e ibérico a la vez)
Exactamente, básicamente un conjunto olímpico es un conjunto ibérico maximal
Spoiler: mostrar
Vemos fácil que en casa conjunto ibérico $I$ existe un número $d \geq 2$ tal que todo numero de $I$ es múltiplo de $d$. Caso contrario existirían $a, b$ tales que ningún divisor primo de $a$ es de $b$, con lo cual $mcd(a,b)=1$.

De este modo, cada conjunto ibérico es un subconjunto del conjunto de los múltiplos de $d$ entre $2$ y $2018$. En particular, $d$ es el menor elemento de conjunto.

Si en un conjunto ibérico $I$ tal $d$ no es primo, entonces podemos agregar a $I$ algún divisor $p$ de $d$. Para todo múltiplo $kd$ de $d$ se cumple que $mcd(p,kd)=p$ estará en $I$.
Por otro lado, si en un conjunto ibérico $I$ faltase algún múltiplo de $d$ podríamos agregar todos los que falten y seguiría siendo ibérico.

Luego todo conjuntos olímpico ibérico es el conjunto de los múltiplos de $p$ menores a $2018$, dónde $p$ es primo.
Con lo cual hay sólo dos conjuntos olímpicos ibéricos que contienen al $33$.
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro //
Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020
FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años
OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022 FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años
OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 2212
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 18
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Ibero 2018 - P4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Spoiler: mostrar
Tenemos $33=3\cdot 11$, luego, los dos conjuntos $A=\{g\in \mathbb{N}:2\le g\le 2018,3\mid g\}$ y $B=\{d\in \mathbb{N}:2\le d\le 2018,11\mid d\}$ son olímpicos (si agregamos algún número, será coprimo con $3$ u $11$, por lo que $1$ debería aparecer en el conjunto, absurdo) y contienen al $33$.
Ahora, cualquier número coprimo con $11$ y con $3$ será coprimo con $33$, luego, ningún conjunto ibérico puede contener al $33$ y a un número coprimo con $11$ y con $3$. Si un conjunto ibérico contiene al $33$ y a un múltiplo de $3$, todos sus elementos deben ser múltiplos de $3$, pero entonces o bien ese conjunto es $A$ o es un subconjunto propio de $A$, luego, no es olímpico. Análogamente, ningún conjunto distinto de $B$ puede ser olímpico y contener al $33$ y a un múltiplo de $11$.
Queda demostrado que los únicos conjuntos olímpicos ibéricos son $A$ y $B$.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
Responder