Entrenamiento Cono 2018 P42

[Joacoini]

Sean $n$ y $k$ dos enteros positivos tales que $1\leq n\leq k$. Demostrar que si $d^k+k$ es un número primo para cada divisor positivo $d$ de $n$ entonces $n+k$ es un número primo.

[Matías]

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Si tomamos $d=1$ obtenemos que $k+1$ es un número primo. Luego, como $n\leq k<k+1$, por el pequeño teorema de Fermat tenemos que $n^k\equiv 1(k+1)$, pero entonces $n^k+k\equiv 0(k+1)$, cuando tomando $d=n$ obtenemos que $n^k+k$ es primo,
por lo tanto $n^k+k=k+1\implies n^k=1\implies n=1$,
así que concluimos que $n+k=1+k$ es primo.