OMCC 2018 - P3

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Gianni De Rico

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OMCC 2018 - P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 18 Jul, 2018 1:15 am

Sean $x$, $y$ números reales tales que los tres números

$x-y$, $x^2-y^2$, $x^3-y^3$

son positivos y números primos. Demuestre que $x-y=3$.
[math]

Matías

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Re: OMCC 2018 - P3

Mensaje sin leer por Matías » Mié 18 Jul, 2018 11:05 am

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Sean $p=x-y$ y $q=x^2-y^2=(x+y)(x-y)$.
Tenemos que $x=p+y$ y $p(2y+p)=q\implies y=\frac{\frac{q}{p}-p}{2}$.

Tenemos que:
$x^3-y^3=(x-y)(x^2+y^2+xy)=$
$p((p+y)^2+y^2+(p+y)y)=$
$p(p^2+3y^2+3py)=$
$p(p^2+\frac{3}{4}(\frac{q}{p}-p)^2+\frac{3}{2}p(\frac{q}{p}-p))=$
$p(p^2+\frac{3}{4}(\frac{q^2}{p^2}+p^2-2q)+\frac{3}{2}q-\frac{3}{2}p^2)=$
$p\frac{p^2+\frac{3q^2}{p^2}}{4}=$
$\frac{p^3+\frac{3q^2}{p}}{4}$ es un número natural (y primo), entonces $p\mid 3q^2\implies p=3\vee p=q$.

Pero si $p=q$ nos queda que $\frac{p^3+3p}{4}=p\frac{p^2+3}{4}$ es un número primo, y si $p\equiv 1(2)$ entonces $p^2\equiv 1(4)\implies \frac{p^2+3}{4}\in N\wedge \frac{p^2+3}{4}>1$ (ya que $p\geq 3$),
pero entonces $p\frac{p^2+3}{4}$ es compuesto (absurdo), así que debe ser $p=2$, pero nos queda que $\frac{2^3+3\times 2}{4}=3,5$ es primo (absurdo).

Por lo tanto como no puede ser $p=q$ concluimos que $p=3$.
Un ejemplo de solución es $x=\frac{7}{3}$ e $y=\frac{-2}{3}$.
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