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Gianni De Rico

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Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 07 Jul, 2018 1:42 pm

Consideremos la sucesión infinita $a_1,a_2,\ldots$ definida por $$a_n=2^n+3^n+6^n-1$$ para cada entero $n\geqslant 1$.
Determine todos los enteros positivos que son coprimos con todos los términos de la sucesión.
[math]

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Vladislao

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Re: IMO 2005 - P4

Mensaje sin leer por Vladislao » Dom 08 Jul, 2018 12:58 am

Spoiler: mostrar
Sea $p>3$ un primo. Tenemos, por el Teorema de Fermat, que:
$a_{p-2}=2^{p-2}+3^{p-2}+6^{p-2}-1=2^{-1}+3^{-1}+6^{-1}-1=1-1=0 \pmod{p}$
Es decir, para todo primo $p>3$ hay un elemento en la sucesión que es múltiplo de él. Esto sólo nos dice que las respuestas posibles pueden ser $1$ (obvio), $2$ que se descarta porque $a_1$ es par y $3$, que también se descarta, pues $a_2=48$ es múltiplo de $3$).
1  
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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