Zonal N3 P2 2018

Avatar de Usuario
Joacoini

OFO - Medalla de Plata
Mensajes: 104
Registrado: Jue 12 Oct, 2017 10:17 pm
Medallas: 1
Nivel: 2
Ubicación: Ciudad Gotica

Zonal N3 P2 2018

Mensaje sin leer por Joacoini » Jue 28 Jun, 2018 10:44 pm

Mateo multiplicó dos o más números enteros positivos consecutivos y obtuvo como resultado el número $n=47xy74$ con $x$ e $y$ dígitos.
Determinar que números multiplicó Mateo. Dar todas las posibilidades.
NO HAY ANÁLISIS.

Avatar de Usuario
Turko Arias

Colaborador OFO - Medalla de Plata
Mensajes: 227
Registrado: Lun 28 Nov, 2011 11:39 am
Medallas: 2
Nivel: Ñandú
Ubicación: La Plata, Provincia de Buenos Aires

Re: Zonal N3 P2 2018

Mensaje sin leer por Turko Arias » Vie 29 Jun, 2018 1:49 am

Voy a intentar hacer cada paso lo más intuitivo posible y deducir algunas cosas a base de probar con casos para intentar plantear un esquema de como atacar a este problema en la prueba
Spoiler: mostrar
Como $n$ termina en $74$, por la regla de divisibilidad del $4$ entonces $n$ no es divisible por $4$. Pero uno puede ver fácilmente que si considero $4$ o más números consecutivos, siempre voy a tener al menos un múltiplo de $4$, por lo que al multiplicarlos el resultado también lo sería. Como $n$ no es múltiplo de $4$, concluímos que $n$ es el producto o bien de dos números consecutivos, o bien de tres. Si $n$ fuera producto de dos números consecutivos, entonces existirían dos números consecutivos que al multiplicarlos el resultado termina en $4$, pero esto es imposible, basta con chequearlo a mano:
Si el primer número termina en $0$ y el siguiente en $1$ el producto termina en $0$
Si el primer número termina en $1$ y el siguiente en $2$ el producto termina en $2$
Si el primer número termina en $2$ y el siguiente en $3$ el producto termina en $6$
Si el primer número termina en $3$ y el siguiente en $4$ el producto termina en $2$
Si el primer número termina en $4$ y el siguiente en $5$ el producto termina en $0$
Si el primer número termina en $5$ y el siguiente en $6$ el producto termina en $0$
Si el primer número termina en $6$ y el siguiente en $7$ el producto termina en $2$
Si el primer número termina en $7$ y el siguiente en $8$ el producto termina en $6$
Si el primer número termina en $8$ y el siguiente en $9$ el producto termina en $2$
Si el primer número termina en $9$ y el siguiente en $0$ el producto termina en $0$

Por lo tanto si $n$ pudiera ser el producto de números consecutivos, tendría que serlo de exactamente tres números consecutivos. Pero para resolverlo habría que poder tener algún candidato a valor de esos números, y siendo un poco bichos y aprovechándonos de que podemos usar la calculadora en la prueba, tomamos el menor valor posible de $n$ que es $470074$ y le calculamos su raíz cúbica, que nos da más o menos $77,75$, por lo que $77$ parece un buen candidato para probar como el menor de los tres números a multiplicar, y resulta que $77*78*79=474474$. Ahora tomamos el mayor valor posible de $n$ que es $479974$ y le calculamos su raíz cúbica, que nos da más o menos $78,29$, con lo que si existieran otros tres valores que multiplicados dieran algo que tenga forma de $47xy74$ entonces el menor de los tres no podría ser más grande que $78$ porque en ese caso, al multiplicar a los tres obtendría algo más grande que el más grande de los $n$. No hace falta probar con $78*79*80$ porque va a terminar en cero, por lo tanto hay un solo ejemplo y es $77*78*79=474474$.

RESCATEMATEMATICO
Mensajes: 22
Registrado: Vie 24 Abr, 2015 8:03 pm
Nivel: Exolímpico

Re: Zonal N3 P2 2018

Mensaje sin leer por RESCATEMATEMATICO » Sab 30 Jun, 2018 8:30 pm


Avatar de Usuario
Julian_Ferres

OFO - Medalla de Bronce OFO - Medalla de Plata
Mensajes: 387
Registrado: Sab 17 Sep, 2011 8:01 pm
Medallas: 3
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Villa Ramallo, Buenos Aires

Re: Zonal N3 P2 2018

Mensaje sin leer por Julian_Ferres » Dom 01 Jul, 2018 11:31 am

Spoiler: mostrar
Separemos el problema en dos partes: En la primera demostraremos que a lo sumo tres números consecutivos podrían ser multiplicados entre sí y para la segunda veremos los casos en que se multiplican $2$ o $3$ números.

1. Veamos que el número $47xy74$ no es divisible por $4$, ya que $47xy74=47xy \cdot 100 + 74 \equiv 74 \equiv 2 \not\equiv 0 (mod 4)$, por lo que el número no es divisible por $4$. Pero es sabido que si multiplico $4$ o mas números consecutivos siempre obtendré un número múltiplo de $4$ (*), ya que alguno de los factores es un múltiplo de $4$. Por lo tanto el número buscado es a lo sumo producto de $3$ números consecutivos.

(*) Notemos que si $P=n(n+1)(n+2)(n+3)\cdots (n+k-1)=n(n+1)(n+2)(n+3)L$ con $k-1\geq3$ y $L$ un número, entonces los números $n,n+1,n+2,n+3$ tienen en algún orden los restos $0,1,2,3$ en la división por $4$, luego $4|P$

2.
Caso 2 números: Se puede ver que si $n$ es el primero de los números consecutivos: $n(n+1)=47xy74$

Acotemos $n$:

En primer lugar $479974 \geq n(n+1) \geq n^2$, entonces $\sqrt{479974} \cong 692,80 \geq n$
En segundo lugar: $470074 \leq n(n+1) \leq (n+1)^2$, entonces $\sqrt{470074}-1 \cong 684,61 \leq n$

Esto nos dice que $684<n<693$ y probando los casos llegamos a que no hay solución.

Caso 3 números: Se puede ver que si $n$ es el primero de los números consecutivos: $n(n+1)(n+2)=47xy74$

Acotando de forma analoga (**) se puede ver que: $\sqrt[3]{470074}-2 < n < \sqrt[3]{479974}$, es decir : $75<n<79$, donde se ve que $\boxed{n=77}$ es el único número tal que el producto cumple la forma $47xy74$. $\square$

(**)
Spoiler: mostrar
$470074 \leq 47xy74 = n(n+1)(n+2) \leq (n+2)^3$ y también $n^3 \leq n(n+1)(n+2) =47xy74 \leq 479974$.

Responder