Selectivo de IMO 2018 - Problema 1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
luigi00

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Selectivo de IMO 2018 - Problema 1

Mensaje sin leer por luigi00 »

Determinar si existen enteros positivos distintos $x, y$ tales que el número $x+y$ es divisible por $2016$, el número $x-y$ es divisible por $2017$, y el número $x \cdot y$ es divisible por $2018$.
Última edición por luigi00 el Vie 04 May, 2018 3:08 pm, editado 1 vez en total.
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Perdí $\sqrt{S(S-L1)(S-L2)(S-L3)}$
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Gianni De Rico

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Re: Prob de divisibilidad nivel 1?

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Es el Problema 1 del Selectivo IMO 2018

Por favor cuando postees un problema hacelo con el título que corresponde
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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enigma1234

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Re: Prob de divisibilidad nivel 1?

Mensaje sin leer por enigma1234 »

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Si $x=y=2018.(2016.2017+1008)$ es claro que: $2018\mid xy$,$x+y=2018.(2016.2017+2016)=2016.2018^2$ que es múltiplo de $2016$ y como $x=y $ entonces $2017\mid x-y=0$ entonces existen.
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BrunoDS

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Re: Prob de divisibilidad nivel 1?

Mensaje sin leer por BrunoDS »

Por las dudas, el problema decía que $x≠y$.
"No se olviden de entregar la prueba antes de irse..."
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Matías V5

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Re: Prob de divisibilidad nivel 1?

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Jajajajajajajaa
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
Mariano Juncal

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Re: Prob de divisibilidad nivel 1?

Mensaje sin leer por Mariano Juncal »

jajajjajajajjaja
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Violeta

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Re: Prob de divisibilidad nivel 1?

Mensaje sin leer por Violeta »

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La contestación es sí. Basta con determinar si (pero no solo si) existen enteros $a,b,c$ tal que $2017a+2018b=2016c-2018b$, porque entonces poniendo $x=2017a+2018b$ y $y=2018b$ es una pareja que cumple. Pero es casi trivial que existe por lo menos una solución $a,b,c$. Si ponemos $a=(2016)(2018)p$, $b=(2016)(2017)q$ y $c=(2017)(2018)r$, entonces es equivalente a ver si $p+q=r-q$ tiene solución, que es obvio.
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.
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Gianni De Rico

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Re: Prob de divisibilidad nivel 1?

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Otra
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Queremos $2016\mid x+y$. Una forma posible de hacer esto es cuando $2016\mid x$ y $2016\mid y$.
Análogamente, queremos que $2017\mid x$ y $2017\mid y$.
También queremos $2018\mid xy$. Entonces ponemos $2018\mid x$ y $2018\mid y$.

Luego podemos tomar
$x=G\times 2016\times 2017\times 2018$
$y=D\times 2016\times 2017\times 2018$
Con $G,D$ enteros positivos distintos.

Por lo tanto, no sólo existen, sino que hay infinitos pares $(x,y)$ de enteros positivos que cumplen.
2  
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enigma1234

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Re: Prob de divisibilidad nivel 1?

Mensaje sin leer por enigma1234 »

BrunoDS escribió: Jue 03 May, 2018 7:44 pm Por las dudas, el problema decía que $x≠y$.
Jajaja le sumas $2016.2017.2018$ a x y sigue cumpliendo
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Emerson Soriano

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Re: Selectivo de IMO 2018 P1

Mensaje sin leer por Emerson Soriano »

Selectivo IMO Argentina?
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