Selectivo de IMO 2018 - Problema 1

luigi00
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Selectivo de IMO 2018 - Problema 1

Mensaje sin leer por luigi00 » Jue 03 May, 2018 5:31 pm

Determinar si existen enteros positivos distintos $x, y$ tales que el número $x+y$ es divisible por $2016$, el número $x-y$ es divisible por $2017$, y el número $x \cdot y$ es divisible por $2018$.
Última edición por luigi00 el Vie 04 May, 2018 3:08 pm, editado 1 vez en total.
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Gianni De Rico

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Re: Prob de divisibilidad nivel 1?

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 03 May, 2018 6:31 pm

Es el Problema 1 del Selectivo IMO 2018

Por favor cuando postees un problema hacelo con el título que corresponde
[math]

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enigma1234

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Re: Prob de divisibilidad nivel 1?

Mensaje sin leer por enigma1234 » Jue 03 May, 2018 7:37 pm

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Si $x=y=2018.(2016.2017+1008)$ es claro que: $2018\mid xy$,$x+y=2018.(2016.2017+2016)=2016.2018^2$ que es múltiplo de $2016$ y como $x=y $ entonces $2017\mid x-y=0$ entonces existen.
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BrunoDS

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Re: Prob de divisibilidad nivel 1?

Mensaje sin leer por BrunoDS » Jue 03 May, 2018 7:44 pm

Por las dudas, el problema decía que $x≠y$.
$B > \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_i$

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Matías V5

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Re: Prob de divisibilidad nivel 1?

Mensaje sin leer por Matías V5 » Jue 03 May, 2018 8:30 pm

Jajajajajajajaa
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Mariano Juncal

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Re: Prob de divisibilidad nivel 1?

Mensaje sin leer por Mariano Juncal » Jue 03 May, 2018 8:33 pm

jajajjajajajjaja

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Violeta

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Re: Prob de divisibilidad nivel 1?

Mensaje sin leer por Violeta » Jue 03 May, 2018 9:22 pm

Spoiler: mostrar
La contestación es sí. Basta con determinar si (pero no solo si) existen enteros $a,b,c$ tal que $2017a+2018b=2016c-2018b$, porque entonces poniendo $x=2017a+2018b$ y $y=2018b$ es una pareja que cumple. Pero es casi trivial que existe por lo menos una solución $a,b,c$. Si ponemos $a=(2016)(2018)p$, $b=(2016)(2017)q$ y $c=(2017)(2018)r$, entonces es equivalente a ver si $p+q=r-q$ tiene solución, que es obvio.
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

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Gianni De Rico

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Re: Prob de divisibilidad nivel 1?

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 03 May, 2018 9:46 pm

Otra
Spoiler: mostrar
Queremos $2016\mid x+y$. Una forma posible de hacer esto es cuando $2016\mid x\wedge 2016\mid y$.
Análogamente, queremos que $2017\mid x\wedge 2017\mid y$.
También queremos $2018\mid xy$. Entonces ponemos $2018\mid x\wedge 2018\mid y$.

Luego podemos tomar
$x=G\times 2016\times 2017\times 2018$
$y=D\times 2016\times 2017\times 2018$
Con $G,D\in \mathbb{Z}^+,G\neq D$

Por lo tanto, no sólo existen, sino que hay infinitos pares $(x,y)$ de enteros positivos que cumplen.
[math]

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enigma1234

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Re: Prob de divisibilidad nivel 1?

Mensaje sin leer por enigma1234 » Vie 04 May, 2018 7:19 am

BrunoDS escribió:
Jue 03 May, 2018 7:44 pm
Por las dudas, el problema decía que $x≠y$.
Jajaja le sumas $2016.2017.2018$ a x y sigue cumpliendo
1  
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Emerson Soriano

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Re: Selectivo de IMO 2018 P1

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Vie 04 May, 2018 3:25 pm

Selectivo IMO Argentina?

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