Primer Pretorneo 2016 NM P1

[patricia graglia]

Buenas noches me pueden explicar la resolución del problema.
Sea p un numero primo. Determinar la cantidad de enteros positivos n tales que pn es múltiplo de p+n.
Gracias

[sebach]

Querés ver los enteros positivos $n$ tal que $p*n$ es múltiplo de $p+n$, es decir, que existe $k$ entero tal que $p*n = (p+n)*k$.
Como $p$ es primo, en el producto del lado derecho no puede haber algunos factores de $p$ en $(p+n)$ y otros en $k$. $p$ debe dividir o bien a $p+n$ o bien a $k$.
Y ahí ves los casos:
Si $p$ divide a $p+n$, entonces $p$ divide a $n$. Sea $n=p*m$. Luego tenemos que $p*p*m = (p+p*m)*k \Rightarrow p*m = (1+m)*k$. Ahora, como $m$ y $m+1$ son coprimos, $m$ debe dividir a $k$. Sea $k=m*a$. Luego $p*m = (1+m)*m*a \Rightarrow p = (1+m)*a$. Como $m>0$, debe ser $a=1$ y $1+m=p$. Luego $m=p-1$, y entonces $n=m*p=p*(p-1)$. Se ve que este valor de $n$ cumple, ya que $p*n = p*p*(p-1) = (p+p*(p-1))*(p-1)$, donde se ve que $k$ vale $p-1$ y efectivamente el valor de $a$ es $1$.
(Comentario: era más fácil ver que como $m$ y $m+1$ son coprimos, $m+1$ debe divir a $p$, y ahí sale que $m+1$ debe ser ó $1$ ó $p$ y es más directo. Pero bueno, vi primero lo otro y lo dejo así.)

Ahora, si $p$ no divide a $p+n$, debe divir a $k$. Sea $k=p*q$. Luego tenemos $p*n = (p+n)*p*q \Rightarrow n = (p+n)*q$ lo que es imposible ya que el lado derecho es claramente mayor a $n$ (podría ocurrir que sean iguales si y solo si ambos fueran $0$, pero el problema pide que $n$ sea positivo).

Entonces, el único valor de $n$ que vale es $n=p*(p-1)$

[Gianni De Rico]

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