Rioplatense 2017 - NA P4

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Rioplatense 2017 - NA P4

Mensaje sin leer por ésta » Vie 08 Dic, 2017 2:10 pm

Un número de seis dígitos es platinado si cumple las siguientes condiciones:
  • Los seis dígitos son distintos.
  • Cuatro de los seis dígitos son $2, 0, 1, 7$.
  • Es múltiplo de $45$.
a) ¿Cuál es el mayor número de seis dígitos que es platinado? ¿Y el menor?
b) ¿Cuántos números de seis dígitos son platinados?
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BrunZo

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Re: Rioplatense 2017 - NA P4

Mensaje sin leer por BrunZo » Mar 12 Dic, 2017 2:27 pm

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Para que un numero sea múltiplo de $45$, debe ser múltiplo de $9$ y de $5$. Como es multiplo de $5$ tenemos dos opciones.
_______$0$ ó _______$5$

Si termina en $5$ como tiene los dígitos $2$, $0$, $1$, y $7$, sabiendo que para ser múltiplo de $9$ sus dígitos deben sumar $9$, el otro dígito debe ser $3$. Los digitos son $2$, $0$, $1$, $7$, $3$, $5$.
Ahora, como tenemos $5!$ ordenes totales y $4!$ ordenes empezando por $0$, los cuales hay que quitar, tenemos:
$5!-4!=120-24=96$ $numeros$ $platinados$

Si termina en $0$, y tiene los dígitos $2$, $1$, y $7$, por el criterio del $9$, los otros dos dígitos solo pueden ser: $1$ y $7$, $2$ y $6$, $3$ y $5$ y $8$, y $9$. Los únicos casos donde no tenemos números ya usados son: $3$ y $5$, y $8$ y $9$.
Ahora, como tenemos $5!$ ordenes totales para cada uno tenemos:
$2\times5!=240$ $numeros$ $platinados$

$a)$ El mayor numero platinado debe empezar por $98...$, el único caso: $987210$
El menor numero platinado debe empezar por $10...$, el único caso: $102375$
$b)$ Sumamos todas las posibilidades ya obtenidas y tenemos:
$Hay$ $336$ $números$ $platinados$

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