Rioplatense 2017 - NA P2

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Rioplatense 2017 - NA P2

Mensaje sin leer por ésta » Vie 08 Dic, 2017 1:47 pm

Un número es rioplatense si cumple las siguientes condiciones:
  • El número es de tres dígitos.
  • Los tres dígitos son distintos.
  • Ninguno de los dígitos es 0.
  • Alguno de los tres dígitos es igual a la cantidad de factores primos distintos que tiene el resultado de multiplicar los otros dos dígitos.
¿Cuántos números rioplatenses hay?
Nota:
El número $125 = 5^3$ tiene un factor primo, el $5$.
El número $200 = 2 \cdot 5^2$ tiene dos factores primos distintos, el $2$ y el $5$.
El número $1$ no es primo.
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Emerson Soriano

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Re: Rioplatense 2017 - NA P2

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Sab 09 Dic, 2017 10:01 am

Spoiler: mostrar
Si uno de los tres dígitos es igual a la cantidad de factores primos del producto de los otros dos, diremos que es genial.
Un dígito genial no es mayor que $2$, de lo contrario sería al menos $2\times 3\times 5=30$, lo cual es absurdo. Por eso analizaremos dos casos:

Caso 1.
Cuando un número rioplatense tiene como dígito genial a $1$. Entonces, los otros dos dígitos sólo pueden ser $(2, 4)$, $(2, 8)$ o $(3, 9)!$. Por lo tanto, en este caso hay $3!\times 3=18$ números rioplatenses.

Caso 2.
Cuando un número rioplatense tiene a $2$ como dígito genial. Si otro de los dígitos es $1$, entonces necesariamente el otro es $2\times 3=6$. En cambio, si ninguno de los dos dígitos que sobran es $1$, entonces sus posibilidades son $(3, 4)$, $(3, 5)$, $(3, 6)$, $(3, 7)$, $(3, 8)$, $(4, 5)$, $(4, 6)$, $(4, 7)$, $(4, 9)$, $(5, 7)$, $(5, 8)$, $(5, 9)$, $(6, 8)$, $(6, 9)$, $(7, 8)$, $(7, 9)$ y $(8, 9)$. Por lo tanto, en este caso hay $18\times 3!=108$ números rioplatenses.

Finalmente, se concluye que hay $18+108=126$ números rioplatenses.


tuvie

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Re: Rioplatense 2017 - NA P2

Mensaje sin leer por tuvie » Sab 09 Dic, 2017 11:35 am

Emerson Soriano escribió:
Sab 09 Dic, 2017 10:01 am
Spoiler: mostrar
Si uno de los tres dígitos es igual a la cantidad de factores primos del producto de los otros dos, diremos que es genial.
Un dígito genial no es mayor que $2$, de lo contrario sería al menos $2\times 3\times 5=30$, lo cual es absurdo. Por eso analizaremos dos casos:

Caso 1.
Cuando un número rioplatense tiene como dígito genial a $1$. Entonces, los otros dos dígitos sólo pueden ser $(2, 4)$, $(2, 8)$ o $(3, 9)!$. Por lo tanto, en este caso hay $3!\times 3=18$ números rioplatenses.

Caso 2.
Cuando un número rioplatense tiene a $2$ como dígito genial. Si otro de los dígitos es $1$, entonces necesariamente el otro es $2\times 3=6$. En cambio, si ninguno de los dos dígitos que sobran es $1$, entonces sus posibilidades son $(3, 4)$, $(3, 5)$, $(3, 6)$, $(3, 7)$, $(3, 8)$, $(4, 5)$, $(4, 6)$, $(4, 7)$, $(4, 9)$, $(5, 7)$, $(5, 8)$, $(5, 9)$, $(6, 8)$, $(6, 9)$, $(7, 8)$, $(7, 9)$ y $(8, 9)$. Por lo tanto, en este caso hay $18\times 3!=108$ números rioplatenses.

Finalmente, se concluye que hay $18+108=126$ números rioplatenses.

No entendi la primera parte, pero el $3$ puede ser un digito genial, por ejemplo en $367$.

BrunZo

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Re: Rioplatense 2017 - NA P2

Mensaje sin leer por BrunZo » Dom 10 Dic, 2017 10:32 pm

Resolución:
Spoiler: mostrar
Digamos que el dígito que marca la cantidad de factores primos del producto de los otros es el importante. El digito importante solo puede ser $1$, $2$ ó $3$, analizamos los casos.

Caso del $1$. El producto solo puede ser:
$1$ $con$ $2$, $3$, $4$, $5$, $7$, $8$, $9$
$2$ $con$ $4$, $8$
$3$ $con$ $9$
$4$ $con$ $8$
Donde se saca el $1$ por estar repetido. Hay $5$ casos y como cada uno tiene $3!$ ordenes, tenemos:
$4\times 3! = 24$ $numeros$ $rioplatenses$

Caso del $3$. Lo analizamos sabiendo que el $6$ debe estar con un numero coprimo a este:
$5$ $con$ $6$
$6$ $con$ $7$
Hay $2$ casos y como cada uno tiene $3!$ ordenes, tenemos:
$2\times 3! = 12$ $numeros$ $rioplatenses$

Caso del $2$:
Sabemos que todas las maneras de elegir los dos dígitos que se multiplican son $\frac{9\times 8}{2}=36$. Ahora, si sacamos las que tienen $1$ ó $3$ factores comunes que son $13$, sobran $23$ que son las que tienen dos factores comunes.
Nos falta sacar las que tienen $2$ que son:
$2$ $con$ $3$, $5$, $6$, $7$, $9$.
Ahora quedan $18$ y como hay $3!$ ordenes, tenemos:
$18\times 3! = 108$ $numeros$ $rioplatenses$

Ahora sumamos todo.
$En$ $total$ $hay$ $144$ $numeros$ $rioplatenses$

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