Sea [math]n un numero entero positivo de tres dígitos tal que el producto de sus dígitos divide la suma de sus dígitos. Sabiendo que [math]n es el numero major con esta propriedad, determinar [math]n.
Si un número de [math]3 dígitos verifica las condiciones del problema entonces si permutamos los dígitos en cualquier orden seguirá verificando las condiciones y por lo tanto debido a que estamos buscando el máximo número que cumpla la condición del problema podemos establecer el siguiente orden [math]c\leq b\leq a sobre el número de [math]3 dígitos [math]abc
Notemos que todos los dígitos son no nulos porque [math]0 no divide a ningún número y ademas notemos que [math]999 no verifica las condiciones del problema debido a que [math]9^3\nmid 27 , luego [math]a+b+c\leq 26[math]\Rightarrow como [math]a.b.c\mid a+b+c se tiene que [math]a.b.c\leq 26
Si [math]c\geq 3\Rightarrow 3\leq c\leq b\leq a \Rightarrow a.b.c\geq 27 (Absurdo)
Luego [math]c=2 o [math]c=1
Si [math]c=2 \Rightarrow a.b.2\mid a+b+2 con [math]2\leq b\leq a , como puede verse [math]2\mid a+b, es decir [math]a+b es par. Ademas [math]a\mid b+2\Rightarrow a\leq b +2
Entonces ocurre que [math]a=b \vee a=b+1\vee a=b+2
■ Si [math]a=b \Rightarrow 2.a^2\mid 2.a+2 \Rightarrow a^2\mid a+1 \Rightarrow a\mid 1\Rightarrow a=1 (Absurdo)
■ Si [math]a=b+1 \Rightarrow a+b=2.b+1=impar (Absurdo)
■ Si [math]a=b+2 \Rightarrow 2.a.(a-2)\mid 2+a+a-2 \Rightarrow a-2\mid 1 \Rightarrow a-2=1 \Rightarrow a=3\Rightarrow b=1 (Absurdo)
Si [math]c=1 \Rightarrow a.b\mid a+b+1 con [math]1\leq b\leq a , como [math]a\mid b+1\Rightarrow a\leq b +1
Entonces ocurre que [math]a=b \vee a=b+1
■ Si [math]a=b \Rightarrow a^2\mid 1+2.a \Rightarrow a\mid 1 \Rightarrow a=1\Rightarrow b=1\Rightarrow abc=111 que verifica las condiciones del problema.
■Si [math]a=b+1 \Rightarrow a.(a-1)\mid 1+a+a-1 \Rightarrow a-1\mid 2 \Rightarrow a-1=2\vee a-1=1
Luego [math]a=3\vee a=2
Si [math]a=2\Rightarrow b=1\Rightarrow abc=211 que verifica las condiciones del problema.
Si [math]a=3\Rightarrow b=2\Rightarrow abc=321 que verifica las condiciones del problema.
Son [math]10 números los que verifican las condiciones del problema y el mayor de ellos es [math]321
