Sean a, b, c y d números enteros positivos tales que [math]\frac{a}{480}, [math]\frac{b}{630} y [math]\frac{c}{d}
son fracciones irreducibles y además: [math]\frac{a}{480}+ \frac{b}{630}=\frac{c}{d}
Determine el menor valor posible de [math]d
Factorizando los números [math]480 y [math]630 vemos que [math]a es coprimo con los primos [math]2 ,[math]3 y [math]5; [math]b es coprimo con los primos [math]2 ,[math]3 ,[math]5 y [math]7
Como [math]\frac{a}{480}+\frac{b}{630}=\frac{c}{d}\Rightarrow (21.a+16.b).d=c.2^5.3^2.5.7[math](*)
El número [math]21.a+16.b es coprimo con [math]3 ya que de no ser tendríamos que [math]3\mid b y esto no es posible.
El número [math]21.a+16.b es coprimo con [math]7 ya que de no ser tendríamos que [math]7\mid b y esto no es posible.
El número [math]21.a+16.b es coprimo con [math]2 ya que de no ser tendríamos que [math]2\mid a y esto no es posible.
De lo anterior y de [math](*) se tiene que [math]2^5.3^2.7\mid d\Rightarrow d=2^5.3^2.7.k (con [math]k\in N)
Pero como [math]d y [math]c son coprimos, nuevamente de [math](*) concluimos que [math]d\mid 2^5.3^2.5.7\Rightarrow 2^5.3^2.7.k\mid 2^5.3^2.5.7\Rightarrow k\mid 5
Luego [math]k=1 o [math]k=5\Rightarrow d=2016 o [math]d=10080
Veamos que con [math]a=1, [math]b=19, [math]c=65 y [math]d=2016
se cumplen las hipótesis, así que la respuesta buscada es [math]2016
