Como [math]p es primo tenemos que [math]p\mid a+1 o [math]p\mid a^2-a+1.
Si [math]p\mid a+1, como por la ecuación original tenemos que [math]a^3<p^2\implies a<p, tenemos que [math]p=a+1,
entonces (viendo la última ecuación) [math]a^2-a+1=p-1 [math]a^2-a+1=a [math]a^2-2a+1=(a-1)^2=0\implies a=1
Entonces [math](2,1) cumple.
Si [math]p\mid a^2-a+1 vamos a tener que [math]a+1\mid p-1, y llamemos [math]k=\frac{a^2-a+1}{p}=\frac{p-1}{a-1}. Entonces vamos a tener que [math]a=\frac{p-1}{k}-1=\frac{-1\pm\sqrt{4pk-3}}{2}
Desarrollando nos queda que [math]-p^2+(k^3+k+2)p-(k^2+k+1)=0 [math]p=\frac{-k^3-k-2\pm\sqrt{(k^3+k+2)^2-4(k^2+k+1)}}{-2} [math]p=\frac{-k^3-k-2\pm\sqrt{k^2(k^4+2k^2+4k-3)}}{-2}
Entonces debe ser [math]k^4+2k^2+4k-3 un cuadrado perfecto, pero tenemos que [math](k^2+1)^2=k^4+2k^2+1\leq k^4+2k^2+4k-3<k^4+4k^2+4=(k^2+2)^2 para todo [math]k\in N y [math](k^2+1)^2<k^4+2k^2+4k-3 si [math]k>1, por lo tanto debe ser [math]k=1, pero entonces [math]p=3 y [math]a=1, que no verifican la ecuación.
Por lo tanto el único par que cumple es [math](2,1).