Haciendo diferencia de cuadrados nos queda que [math]p^b=(a-12)(a+12), entonces tanto [math]a-12 como [math]a+12 son potencias de [math]p, pero como [math]a+12>a-12 entonces [math]a+12=p^x(a-12)\implies \frac{a+12}{a-12}=p^x\geq 2\implies a\leq 36.
También tenemos que [math]a\geq 13 ya que [math]144=12^2 y [math]p^b>0.
Si tomamos [math]a=s+12 nos queda que [math]\frac{a+12}{a-12}=p^x=\frac{s+24}{s}, por lo tanto debe ser [math]s\mid 24 ([math]s\in N ya que [math]a\geq 13).
Si [math]s=1 entonces [math]a=13 y [math]p^b=25=5^2 , por lo tanto [math](13,2,5) cumple.
Si [math]s=2 entonces [math]a=14 pero [math]p^b=52=4\times 13,
por lo tanto [math]s\neq 2.
Si [math]s=3 entonces [math]a=15 y [math]p^b=81=3^4, por lo tanto [math](15,4,3) cumple.
Si [math]s=4 entonces [math]a=16 pero [math]p^b=112=7\times 16,
por lo tanto [math]s\neq 4.
Si [math]s=6 entonces [math]a=18 pero [math]p^b=180=9\times 5\times 4 por lo tanto [math]s\neq 6.
Si [math]s=8 entonces [math]a=20 y [math]p^b=256=2^8, por lo tanto [math](20,8,2) cumple.
Si [math]s=12 entonces [math]a=24 pero [math]p^b=432=16\times 27, por lo tanto [math]s\neq 12.
Si [math]s=24 entonces [math]a=36 pero [math]p^b=1152=9\times 128, por lo tanto [math]s\neq 24.
Entonces los tríos que cumplen son [math](13,2,5), [math](15,4,3) y [math](20,8,2)
Última edición por Matías el Lun 25 Sep, 2017 8:34 am, editado 1 vez en total.