Problema 1 Cono Sur 2017

[ésta]

Un número entero positivo [math]n se denomina guayaquileño si la suma de los dígitos de [math]n es igual a las suma de los dígitos de [math]n^2. Hallar todos los posibles valores que toma la suma de los dígitos de un número guayaquileño.

[matheussecco]

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Olhando módulo 9, é fácil ver que n deixa resto 0 ou 1 por 9. Para s(n)=9k, basta tomar n = 999...9 (k noves) e para s(n) = 9k+1, basta tomar n = 199...9 (k noves).

[18dieciocho]

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$N\equiv S(N)\equiv S(N^2)\equiv N^2\pmod{9}\Rightarrow N(N-1)\equiv 0\pmod{9}\Rightarrow N\equiv 0\pmod{9}\lor N\equiv 1\pmod{9}.$

[matematicas hijo :v]

para la resolución de este problema suelto factos(pista) :

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1)fijise que numeros cumplen las condiciones del problema con n < 10 y luego vean si les pueden colocar algun numero a la izquierda sin que deje de cumplir las condiciones del problema

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2) esos números son 2

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y son los numeros 0 y 9( claramente mod 9 estaba involucrado...)