La rana Tita se encuentra en la recta numerica, en el entero [math]k>1. En un movimiento, si la rana Tita se encuentra sobre el punto [math]n, salta al punto [math]f(n)+g(n), donde [math]f(n) y [math]g(n) son el mayor y menor divisor primo de [math]n, respectivamente. Hallar todos los valores de [math]k para los cuales Tita puede ser saltar a infinitamente muchos enteros distintos.
Para todo [math]k, existen [math]k primos en sucesión aritmética.
Violeta escribió:saltar a infinitamente muchos enteros distintos.
Quiere decir que puede saltar distancias distintas? Porque no me parece muy claro y las otras interpretaciones son bastante triviales de resolver, en general
Violeta escribió:saltar a infinitamente muchos enteros distintos.
Quiere decir que puede saltar distancias distintas? Porque no me parece muy claro y las otras interpretaciones son bastante triviales de resolver, en general
No, quiere decir que si empezamos con [math]k y hacemos la lista de todos los enteros a los que Tita salta, empezando con tal [math]k, esta lista tenga infinitos enteros distintos entre si.
Para todo [math]k, existen [math]k primos en sucesión aritmética.
[math]k=2 no funciona, porque salta al punto [math]4 y desde el punto [math]4 salta a otro punto [math]4 Por ende, se va a quedar siempre en el [math]4 a partir de cierto momento.
De forma análoga, ningún [math]k de la forma [math]2^n funciona.
[math]k=2 no funciona, porque salta al punto [math]4 y desde el punto [math]4 salta a otro punto [math]4 Por ende, se va a quedar siempre en el [math]4 a partir de cierto momento.
De forma análoga, ningún [math]k de la forma [math]2^n funciona.
Y para cualquier otro número? Si [math]k=42, por ejemplo, puede ser que el recorrido sí recorra infinitamente muchos números distintos.
Para todo [math]k, existen [math]k primos en sucesión aritmética.
1) Si Tita está en un número que no es primo [math]n, luego digamos que [math]f(n)=p y [math]g(n)=q. Esto significa que [math]n=p*q*R donde [math]R no tiene divisores primos menores que [math]q ni mayores que [math]p. Ahora, Tita salta de [math]p*q*R a [math]p+q. Veamos que casi siempre el número al que salta es menor al que estaba: [math]p+q \geq p*q*R \Rightarrow q \geq q*R*(p-1) \Rightarrow 1 \geq R*(p-1) \Rightarrow R=1 y [math]p=2. Pero como [math]p \geq q \Rightarrow q=2. Entonces el único [math]n compuesto para el que Tita no se mueve a un número menor es [math]4.
2) Si Tita está un número primo [math]p, se mueve a [math]p+p=2p.
3) Si Tita no recorre infinitos valores de [math]n , es porque entra en un ciclo. Esto se ve porque si Tita va saltando y no repite ningún valor entonces salta a infinitos números distintos,y si salta a un número por el que ya pasó [math]m , de ahí va a [math]f(m)+g(m) que es el mismo valor al que fue antes desde [math]m, y ahí entró en un ciclo.
Ahora que vimos las observaciones, sigamos.
Supongamos que [math]k es uno de los valores que buscamos. Luego, si en los primeros [math]k valores no hay un número primo, llegaríamos a un absurdo, ya que o bien nos "achicamos" siempre (achicarse es saltar de un número a otro menor), pero en [math]k saltos deberíamos llegar al [math]0 que es imposible, o bien llegamos a [math]4. Pero sabemos que si llegamos al [math]4, a partir de ahí Tita sólo puede quedarse en el [math]4=2*2=2+2 , y llegaríamos a un absurdo porque tendríamos menos de [math]k números a los que puede saltar, que es finito. Entonces en los primeros [math]k valores hay al menos un número primo, llamémoslo [math]p . Esto quiere decir que [math]p también es uno de los valores que queremos hallar, ya que antes de [math]p pasamos por a lo sumo [math]k que es finito, por lo que luego de [math]p Tita podrá ir a infinitos números distintos también.
Ahora entonces me voy a concentrar en ese primo [math]p que es de los valores que pide el enunciado.
Si [math]p=2, sabemos que Tita salta al [math]4 y se queda ahí, entonces [math]p>2.
Ahora, Tita desde [math]p va a [math]2*p. Luego, va a [math]2+p. Ahora si [math]p+2 es compuesto, a partir de ahí empieza a achicarse. Y si es primo, luego Tita irá a [math]2*(p+2) y luego a [math]2+p+2=p+4. Ahora, [math]p+4 puede ser primo? Veamos que si lo fuera, tendríamos que [math]p, [math]p+2 y [math]p+4 son primos. Ahora, entre ellos debe haber algún múltiplo de [math]3 (basta ver los 3 casos de la congruencia de [math]p módulo [math]3 , o pensar como que en congruencia módulo [math]3 sumar [math]2 es como restar [math]1 , entonces son como [math]3 números consecutivos, y cada [math]n números consecutivos siempre hay exactamente un múltiplo de [math]n para todo [math]n ). Entonces, como son primos, el que sea múltiplo de [math]3 debe ser igual a [math]3 . Si [math]p+2=3 significa que [math]p=1 , que no puede ser. Y si [math]p+4=3, [math]p=-1, que tampoco. Entonces [math]p=3. Veamos a mano que [math]3 no es un valor posible que cumple lo que pide el enunciado . De [math]3 Tita va a [math]6 , luego a [math]2+3=5, luego a [math]10 , luego a [math]2+5=7 (acá pasamos por los tres primos que dijimos antes), luego a [math]14 , luego a [math]2+7=9 , y luego a [math]3+3=6 y entramos en un ciclo.
Entonces, habiendo descartado [math]p=3 , por lo menos uno de [math]p+2, p+4 es compuesto. Esto significa que cuando TIta llegue a uno de esos, empezará a achicarse (estrictamente, es decir vean que ninguno de esos puede ser [math]4), hasta nuevamente llegar a un primo, digamos [math]q. Si esto no pasara, ya vimos que siempre se achica o llega al [math]4 y entonces no llega a infinitos números distintos, pero estamos suponiendo que desde [math]p sí logra ese objetivo.
Ahora, si [math]p+2 era compuesto, luego el primo [math]q es menor que [math]p+2, es decir [math]q \leq p. Pero si [math]q=p, llegué a un ciclo [math]\Rightarrow q<p.
Y si [math]p+2 es primo, [math]p+4 es compuesto, por lo que [math]q \leq p+2. Ahora, si [math]q=p+2 ó [math]q=p, entonces llegué a un ciclo [math]\Rightarrow q<p.
Entonces, básicamente lo que acabamos de ver es que si un primo [math]p cualquiera cumple el objetivo , luego debe existir un primo [math]q menor a [math]p también válido. Acá es donde usamos el "principio del mínimo" (que según google es el "principio del buen ordenamiento" pero siempre lo nombré como "del mínimo") que si bien es una pavada es algo importante y bastante fuerte, que es que si el conjunto de primos que cumplen la propiedad del enunciado contiene al menos un elemento, entonces hay un número que es el menor de ellos, digámosle [math]p_0. Pero entonces aplicando lo visto anteriormente, debe haber un primo menor a [math]p_0 para el que se cumpla el enunciado. Con esto llegamos a un absurdo y concluímos que no existe ningún primo tal que vale la propiedad del enunciado. Y como dijimos que si valía para [math]k \Rightarrow valía para un primo menor o igual a [math]k, entonces no existe ningún valor posible de [math]k. QED.