La divisibilidad por (2^n)+n

La divisibilidad por (2^n)+n

UNREAD_POSTpor Pinga2005 » Lun 19 Jun, 2017 2:26 pm

Determinar todos los numeros enteros $n$ tales que
$2^n+n|8^n+n$
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Re: La divisibilidad por (2^n)+n

UNREAD_POSTpor Matías V5 » Lun 19 Jun, 2017 6:35 pm

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Notar que para todo $n$ se tiene que $2^n + n \mid 8^n + n^3$ (ya que como $3$ es impar vale que $x+y \mid x^3 + y^3$ para cualesquiera $x,y \in \mathbb{Z}$).
Por lo tanto, la condición es equivalente a $2^n + n \mid n^3 - n$. Para $n$ suficientemente grande el primer miembro va a ser mayor que el segundo, así que esto sólo se puede cumplir para finitos $n$. Más precisamente, para $n \geq 10$ ya pasa que $2^n > n^3$ (se prueba fácil por inducción) y entonces también $2^n + n > n^3 + n > n^3 - n$. Ahora sólo hay que fijarse para $n=0,1,2,3,\ldots,9$ si se cumple la condición o no. Sólo cumplen $n=0,1,2,4,6$.
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

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Re: La divisibilidad por (2^n)+n

UNREAD_POSTpor Pinga2005 » Mié 21 Jun, 2017 10:36 am

Solucion muy clara, gracias Matías. :)
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