Página 1 de 1
La divisibilidad por (2^n)+n
Publicado: Lun 19 Jun, 2017 2:26 pm
por Pinga2005
Determinar todos los numeros enteros [math]n tales que
[math]2^n+n|8^n+n
Re: La divisibilidad por (2^n)+n
Publicado: Lun 19 Jun, 2017 6:35 pm
por Matías V5
- Spoiler: mostrar
- Notar que para todo [math]n se tiene que [math]2^n + n \mid 8^n + n^3 (ya que como [math]3 es impar vale que [math]x+y \mid x^3 + y^3 para cualesquiera [math]x,y \in \mathbb{Z}).
Por lo tanto, la condición es equivalente a [math]2^n + n \mid n^3 - n. Para [math]n suficientemente grande el primer miembro va a ser mayor que el segundo, así que esto sólo se puede cumplir para finitos [math]n. Más precisamente, para [math]n \geq 10 ya pasa que [math]2^n > n^3 (se prueba fácil por inducción) y entonces también [math]2^n + n > n^3 + n > n^3 - n. Ahora sólo hay que fijarse para [math]n=0,1,2,3,\ldots,9 si se cumple la condición o no. Sólo cumplen [math]n=0,1,2,4,6.
Re: La divisibilidad por (2^n)+n
Publicado: Mié 21 Jun, 2017 10:36 am
por Pinga2005
Solucion muy clara, gracias Matías.