■ Si [math]a<0\implies 2^b<0 (Absurdo)
■ Si [math]a=0\implies b=0 y tenemos una solución acá
■ Si [math]a=1\implies b=2 y tenemos otra solución acá
■ Si [math]a>1\implies b>3\implies que [math]2^b es par [math]\implies que [math]a es impar
▄ Si [math]b es par, digamos [math]b=2k con [math]k\in N[math]\implies a(a^2+2)=2^{2k}-1=(2^k-1)(2^k+1)[math](*)
Sea [math]t=(a,a^2+2)\implies t\mid a \wedge t\mid a^2+2\implies t\mid a^2 \wedge t\mid a^2+2\implies t\mid 2
Dado que ya sabemos que [math]a es impar debe ser [math]t\neq 2\implies t=1 y los números [math]a y [math]a^2+2 son coprimos
Analogamente si [math]t'=(2^k-1,2^k+1)\implies t'\mid 2,
Como [math]2^k-1 y [math]2^k+1 son impares entonces [math]t'=1 y los números [math]2^k-1 y [math]2^k+1 son coprimos
Debido a que [math]2^k-1\mid a(a^2+2) hay 2 posibilidades: [math]2^k-1\mid a \vee 2^k-1\mid a^2+2
Si [math]2^k-1\mid a\implies 2^k-1\leq a \implies 2^k+1\leq a+2
Luego multiplicando las ultimas [math]2 desigualdades obtenemos [math](2^k-1)(2^k+1)\leq a(a+2)
Y por [math](*) llegamos a que [math]a(a^2+2)\leq a(a+2)\implies a^2+2\leq a+2\implies a\leq 1 (Absurdo)
Entonces [math]2^k-1\mid a^2+2[math](1)
Debido a que [math]2^k+1\mid a(a^2+2) hay 2 posibilidades: [math]2^k+1\mid a \vee 2^k+1\mid a^2+2
Si [math]2^k+1\mid a\implies 2^k+1\leq a \implies 2^k-1\leq a-2
Luego multiplicando las ultimas [math]2 desigualdades obtenemos [math](2^k-1)(2^k+1)\leq a(a-2)
Y por [math](*) llegamos a que [math]a(a^2+2)\leq a(a-2)\implies a^2+2\leq a-2< a+2\implies a<1 (Absurdo)
Entonces [math]2^k+1\mid a^2+2[math](2)
Ahora de [math](1), [math](2) y del hecho que [math]2^k-1 y [math]2^k+1 son coprimos concluimos que [math](2^k-1)(2^k+1)\mid a^2+2
De esto ultimo y de [math](*) nos queda que [math]a(a^2+2)\mid a^2+2\implies a\mid 1\implies a=1 (Absurdo)
Finalmente no habrá mas soluciones con [math]b par
▄ Si [math]b es impar, digamos [math]b=2k+1 con [math]k\in N, tendremos que [math]a(a^2+2)+1=2^{2k+1}
Es fácil ver que el miembro izquierdo de esta igualdad es congruente con [math]1 modulo [math]3 pero el miembro derecho de esta igualdad
es una potencia impar de [math]2, que es sabido son congruentes con [math]2 modulo [math]3 y entonces no podrá darse la igualdad jamas en este caso.
Las únicas soluciones son las [math]2 vistas al comienzo
