Hallar todos los números naturales $n$ tales que los cinco números$$n \, , \quad n^2+10 \, , \quad n^2-2 \, , \quad n^3+6 \, , \quad n^5+36$$sean todos números primos.
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Supongamos que ninguno de los [math]5 números es igual a [math]7. Entonces [math]n no puede tener resto [math]0 en la división por [math]7.
Además [math]n^2+10 no puede tener resto [math]0 en la división por [math]7. Como [math]7\mid n^2+10 si y solo si [math]n tiene resto [math]2 o [math]5 módulo [math]7, esos restos los descartamos.
Análogamente, como [math]7\mid n^2-2 si y solo si [math]n es congruente con [math]3 o [math]4 módulo [math]7, descartamos esos restos.
Como [math]7\mid n^3+6 si y solo si [math]n es congruente con [math]1,4,2 módulo [math]7, descartamos esos restos también.
Solamente nos queda resto [math]6, pero entonces [math]n^5+36\equiv \left (-1\right )^5+36\equiv 0\pmod 7, absurdo.
Luego alguno de los cinco números es igual a [math]7. Viendo casos vemos que [math]n=7 es el único que cumple.