Selectivo de IMO 2017 P2

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Matías V5

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Selectivo de IMO 2017 P2

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Hallar todos los números naturales $n$ tales que los cinco números$$n \, , \quad n^2+10 \, , \quad n^2-2 \, , \quad n^3+6 \, , \quad n^5+36$$sean todos números primos.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
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JPablo
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Re: Selectivo de IMO 2017 P2

Mensaje sin leer por JPablo »

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Supongamos que ninguno de los [math] números es igual a [math]. Entonces [math] no puede tener resto [math] en la división por [math].

Además [math] no puede tener resto [math] en la división por [math]. Como [math] si y solo si [math] tiene resto [math] o [math] módulo [math], esos restos los descartamos.

Análogamente, como [math] si y solo si [math] es congruente con [math] o [math] módulo [math], descartamos esos restos.

Como [math] si y solo si [math] es congruente con [math] módulo [math], descartamos esos restos también.

Solamente nos queda resto [math], pero entonces [math], absurdo.

Luego alguno de los cinco números es igual a [math]. Viendo casos vemos que [math] es el único que cumple.
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MateoCV

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Re: Selectivo de IMO 2017 P2

Mensaje sin leer por MateoCV »

$2^{82589933}-1$ es primo
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Tob.Rod

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Re: Selectivo de IMO 2017 P2

Mensaje sin leer por Tob.Rod »

Matías V5 escribió: Jue 04 May, 2017 8:28 pm Hallar todos los números naturales $n$ tales que los cinco números$$n \, , \quad n^2+10 \, , \quad n^2-2 \, , \quad n^3+6 \, , \quad n^5+36$$sean todos números primos.
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¿Hay alguna forma linda de demostrar que $7^5 + 36$ es primo? (Sin tener que hacer treinta divisiones a mano)
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Gianni De Rico

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Re: Selectivo de IMO 2017 P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Tob.Rod escribió: Vie 23 Feb, 2024 12:00 pm
Matías V5 escribió: Jue 04 May, 2017 8:28 pm Hallar todos los números naturales $n$ tales que los cinco números$$n \, , \quad n^2+10 \, , \quad n^2-2 \, , \quad n^3+6 \, , \quad n^5+36$$sean todos números primos.
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¿Hay alguna forma linda de demostrar que $7^5 + 36$ es primo? (Sin tener que hacer treinta divisiones a mano)
Afirmarlo con mucha confianza y esperar que te crean (o decir "mirá si no" y proceder de la misma forma).
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♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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