P1 - Olimpiada Balcánica 2017

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Emerson Soriano

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P1 - Olimpiada Balcánica 2017

Mensaje sin leer por Emerson Soriano »

Encontrar todas las parejas [math] de enteros positivos tales que

[math]
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JPablo
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Re: P1 - Olimpiada Balcánica 2017

Mensaje sin leer por JPablo »

Spoiler: mostrar
Sea [math]. Entonces existen dos números naturales [math] y [math] coprimos tales que [math], [math] y [math], de donde [math], por lo tanto [math]. Como [math] y [math] son coprimos entonces [math] y [math] lo son, luego [math], de donde [math] es o bien [math] o bien [math].

Si [math] entonces [math], de donde [math] y por lo tanto [math].

Si [math] entonces [math], y usando que [math] obtenemos [math] y encontramos las soluciones [math].

Despejamos en [math]. Si [math] entonces [math] y [math]. Si [math] entonces [math] y [math] o al revés. Si [math] entonces [math] no queda entero.

Luego, todas las soluciones son [math], [math], [math].
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FaC7oR
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Re: P1 - Olimpiada Balcánica 2017

Mensaje sin leer por FaC7oR »

Tengo una solución BIENNN asquerosa (bien bien horrible)
Spoiler: mostrar
Sea [math], de esto entonces reemplazamos [math] y queda:

[math]

Sacando factor común [math] a izquierda y [math] a derecha queda: [math] Si derivamos respecto de [math] e igualamos a cero nos queda: [math]

Bueno por Método de Descartes y después Método de Cardano obtenemos las raíces (hay dos complejas que las obviamos) que son bien feas:

[math]
[math]

La solución negativa la omitimos porque [math] es necesariamente positivo, vemos que después de la primera raíz encontrada [math] decrece
Si reemplazamos en [math] vemos que el máximo valor posible que puede tomar [math] es [math]

El resto es cuestión de reemplazar todos los [math] en la ecuación que da el enunciado y resolver las cúbicas, las únicas soluciones son:

[math] y estamos

Soy un ser horrible
[math]

[math]
mszew

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Re: P1 - Olimpiada Balcánica 2017

Mensaje sin leer por mszew »

Emerson Soriano escribió:Encontrar todas las parejas [math] de enteros positivos tales que

[math]
Sea [math] y [math] con [math] y [math] coprimos

[math]

Reemplazando [math] y [math] obtenemos:
[math]
[math]
Como [math] y [math] coprimos también lo son [math] y [math] entonces [math] divide a [math] entonces [math] divide a [math] analizando algunos casos se obtienen los resultados deseados.
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