Sea [math]d=\text{mcd}\left (x,y\right ). Entonces existen dos números naturales [math]a y [math]b coprimos tales que [math]x=da, [math]y=db y [math]d\left (a+b\right )\left (a^2-ab+b^2\right )=a^2+42ab+b^2, de donde [math]a^2-ab+b^2\mid a^2+42ab+b^2, por lo tanto [math]a^2-ab+b^2\mid 43ab. Como [math]a y [math]b son coprimos entonces [math]a^2-ab+b^2 y [math]ab lo son, luego [math]a^2-ab+b^2\mid 43, de donde [math]a^2-ab+b^2 es o bien [math]1 o bien [math]43.
Si [math]a^2-ab+b^2=1 entonces [math]\left (2a-b\right )^2+3b^2=4, de donde [math]b=1 y por lo tanto [math]a=1.
Si [math]a^2-ab+b^2=43 entonces [math]\left (2a-b\right )^2+3b^2=172, y usando que [math]3b^2\leq 172 obtenemos [math]b\leq 7 y encontramos las soluciones [math](1,7),(6,7),(7,1),(7,6).
Despejamos en [math]d\left (a^3+b^3\right )=a^2+42ab+b^2. Si [math](a,b)=(1,1) entonces [math]d=22 y [math](x,y)=(22,22). Si [math](a,b)=(1,7) entonces [math]d=1 y [math](x,y)=(1,7) o al revés. Si [math](a,b)=(6,7) entonces [math]d no queda entero.
Luego, todas las soluciones son [math](x,y)=(22,22), [math](x,y)=(1,7), [math](x,y)=(7,1).
Sea [math]k=y/x, de esto entonces reemplazamos [math]y=kx y queda:
[math]x^3+k^3x^3=x^2+42kx^2+k^2x^2
Sacando factor común [math]x^3 a izquierda y [math]x^2 a derecha queda: [math]x^3(1+k^3)=x^2(1+42k+k^2)\to x=\frac{1+42k+k^2}{1+k^3}\to (1) Si derivamos respecto de [math]k e igualamos a cero nos queda: [math]-k^4-84k^3-3k^2+2k+42=0
Bueno por Método de Descartes y después Método de Cardano obtenemos las raíces (hay dos complejas que las obviamos) que son bien feas:
La solución negativa la omitimos porque [math]k es necesariamente positivo, vemos que después de la primera raíz encontrada [math]x decrece
Si reemplazamos en [math](1) vemos que el máximo valor posible que puede tomar [math]x es [math]23
El resto es cuestión de reemplazar todos los [math]x en la ecuación que da el enunciado y resolver las cúbicas, las únicas soluciones son:
Emerson Soriano escribió:Encontrar todas las parejas [math](x, y) de enteros positivos tales que
[math]x^{3}+y^{3}=x^{2}+42xy+y^{2}.
Sea [math]x=da y [math]y=db con [math]a y [math]b coprimos
[math]d^3(a^{3}+b^{3})=d^2(a^{2}+42ab+b^{2})
Reemplazando [math]s=a+b y [math]p=ab obtenemos: [math]d(s^3-3sp)=s^2+40p [math]s^2(ds-1)=p(40+3sd)
Como [math]a y [math]b coprimos también lo son [math]s y [math]p entonces [math]s divide a [math](40+3sd) entonces [math]s divide a [math]40 analizando algunos casos se obtienen los resultados deseados.