Sean $k$ un entero positivo y $a_1,a_2,\ldots ,a_k$ dígitos. Pruebe que existe un entero positivo $n$ tal que los últimos $2k$ dígitos de $2^n$ son, en este orden, $a_1,a_2,\ldots ,a_k,b_1,b_2,\ldots ,b_k$, para ciertos dígitos $b_1,b_2,\ldots ,b_k$.
El caso [math]k=1 es trivial, sólo debemos encontrar [math]10 ejemplos y listo. Asumiremos que [math]k>1.
Sean [math]a_1, [math]a_2, ... , [math]a_k dígitos arbitrarios. Para que el numeral siguiente:
[math]\overline{\left [ T \right ]a_1a_2\cdots a_kb_1b_2\cdots b_k}
sea una potencia de [math]2, entonces se debe cumplir que
[math]\left [ T \right ]\times 10^{2k}+\overline{a_1a_2\cdots a_k}\times 10^{k}+\overline{b_1b_2\cdots +b_k}
es una potencia de [math]2. Pero entonces [math]\overline{b_1b_2\cdots +b_k} es divisible por [math]2^{k}, o sea, [math]\overline{b_1b_2\cdots +b_k}=2^{k}\times t para algún entero positivo [math]t. Reemplazando y reduciendo queda que el siguiente número
[math]\left [ T \right ]\times 2^{k}\times 5^{2k}+5^{k}\times \overline{a_1\cdots a_k}+t
también debe ser una potencia de [math]2, es decir, [math]5^{k}\times \overline{a_1\cdots a_k}+t=2^{k}\times q para algún entero positivo [math]q. Nuevamente reemplazando y reduciendo, tenemos que [math]E=\left [ T \right ]\times 5^{2k}+q es una potencia de [math]2.
Hasta ahora, sólo se ha desglosado para poder tener las cosas claras. Ahora, vamos a ver bajo qué parámetros esto puede ser posible. En efecto, como [math]\overline{b_1b_2\cdots b_k} tiene a lo sumo [math]k dígitos, entonces [math]1\leqslant \overline{b_1b_2\cdots b_k}\leqslant 10^{k}-1 y por ende [math]1\leqslant 2^{k}\times t\leqslant 10^{k}-1, lo cual implica que [math]1\leqslant t\leqslant 5^{k}-1. Como [math]\overline{a_1a_2\cdots a_k} tiene a lo sumo [math]k dígitos, entonces [math]1\leqslant \overline{a_1a_2\cdots a_k}\leqslant 10^{k}-1. Pero vamos a considerar que tiene exactamente [math]k dígitos, pues de lo contrario más adelante se notará que se hace más fácil, pues los invervalos serán de mayor longitud y podremos encontrar en ellos lo que buscamos más fácilmente. Entonces, [math]10^{k-1}\leqslant \overline{a_1a_2\cdots a_k}\leqslant 10^{k}-1. Ahora, según lo que ya tenemos, se puede deducir que
La idea escencial es encontrar en el intervalo [math]\left [ \frac{25^{k}}{10}+\frac{1}{2}, 25^{k}-1 \right ] un número de la forma [math]2^{f}-25^{k}\times w. Esto resuelve el problema, pues hacemos [math]q=2^{f}-25^{k}\times w y [math]w=\left [ T \right ], y logramos el objetivo.
Ahora, sea [math]i el mayor entero tal que [math]2^{i}<5^{k}, es decir, [math]2^{i}<5^{k}<2^{i+1}. Sea [math]r tal que [math]2^{i}+r=5^{k}, entonces
habría una potencia de [math]2, lo cual es absurdo, pues contradice la maximalidad de [math]i. Luego, como [math]k>1 y [math]\frac{25^{k}}{9}>\frac{25^{k}}{10}+\frac{1}{2}, se concluye que [math]2^{2i}=(5^{k}-r)^{2} se encuentra en el intervalo [math]\left [ \frac{25^{k}}{10}+\frac{1}{2}, 25^{k}-1 \right ], que es a donde queríamos llegar.
Observación. Es fácil probar que si [math]r>1 es un entero, entonces entre [math]r y [math]2r, inclusive, existe una potencia de [math]2.
Sea [math]r el resto de [math]a_1a_2\dots a_k00\dots0 en la division por [math]2^{2k}. Consideremos [math]b_1b_2\dots b_k = 2^{2k} - r y [math]b_1b_2\dots b_k = 2\cdot 2^{2k} - r, que puedo porque [math]2\cdot 2^{2k} < 10^k. Para estas dos elecciones de los [math]b_i se cumple que [math]a_1a_2\dots a_k b_1b_2\dots b_k es multiplo de [math]2^{2k}, o sea [math]2^n \equiv a_1a_2\dots a_k b_1b_2\dots b_k \pmod{2^{2k}} para [math]n \ge 2k. Ademas, para alguna de estas dos elecciones de los [math]b_i se cumple que [math]a_1a_2\dots a_k b_1b_2\dots b_k no es multiplo de [math]5. Pero [math]2 es raiz primitiva modulo potencias de [math]5, asi que para esa eleccion de los [math]b_i existe un [math]n \ge 2k tal que [math]2^n \equiv a_1a_2\dots a_k b_1b_2\dots b_k \pmod{5^{2k}}. Luego [math]2^n \equiv a_1a_2\dots a_k b_1b_2\dots b_k \pmod{10^{2k}}, y listo.
Qué raro que este problema haya estado en la prueba, y encima como problema 6. Lo digo en función de que hay varios otros problemas muy parecidos a este en enunciado, que salen exactamente con la idea de Prillo