Iberoamericana 2016 P6

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
ésta

Colaborador-Varias OFO - Jurado-OFO 2015 OFO - Jurado-OFO 2017 OFO - Jurado-OFO 2018
Mensajes: 300
Registrado: Sab 16 Oct, 2010 4:55 pm
Medallas: 4
Nivel: Ñandú

Iberoamericana 2016 P6

Mensaje sin leer por ésta »

Sean $k$ un entero positivo y $a_1,a_2,\ldots ,a_k$ dígitos. Pruebe que existe un entero positivo $n$ tal que los últimos $2k$ dígitos de $2^n$ son, en este orden, $a_1,a_2,\ldots ,a_k,b_1,b_2,\ldots ,b_k$, para ciertos dígitos $b_1,b_2,\ldots ,b_k$.
Imagen
Avatar de Usuario
Emerson Soriano

OFO - Mención-OFO 2015 OFO - Medalla de Oro-OFO 2016 OFO - Medalla de Plata-OFO 2017 OFO - Medalla de Bronce-OFO 2018 OFO - Mención-OFO 2020
OFO - Medalla de Plata-OFO 2022
Mensajes: 826
Registrado: Mié 23 Jul, 2014 10:39 am
Medallas: 6

Re: Iberoamericana 2016 P6

Mensaje sin leer por Emerson Soriano »

Spoiler: mostrar
El caso [math] es trivial, sólo debemos encontrar [math] ejemplos y listo. Asumiremos que [math].

Sean [math], [math], ... , [math] dígitos arbitrarios. Para que el numeral siguiente:
[math]

sea una potencia de [math], entonces se debe cumplir que
[math]

es una potencia de [math]. Pero entonces [math] es divisible por [math], o sea, [math] para algún entero positivo [math]. Reemplazando y reduciendo queda que el siguiente número
[math]

también debe ser una potencia de [math], es decir, [math] para algún entero positivo [math]. Nuevamente reemplazando y reduciendo, tenemos que [math] es una potencia de [math].

Hasta ahora, sólo se ha desglosado para poder tener las cosas claras. Ahora, vamos a ver bajo qué parámetros esto puede ser posible. En efecto, como [math] tiene a lo sumo [math] dígitos, entonces [math] y por ende [math], lo cual implica que [math]. Como [math] tiene a lo sumo [math] dígitos, entonces [math]. Pero vamos a considerar que tiene exactamente [math] dígitos, pues de lo contrario más adelante se notará que se hace más fácil, pues los invervalos serán de mayor longitud y podremos encontrar en ellos lo que buscamos más fácilmente. Entonces, [math]. Ahora, según lo que ya tenemos, se puede deducir que
[math]

Es decir,
[math]

La idea escencial es encontrar en el intervalo [math] un número de la forma [math]. Esto resuelve el problema, pues hacemos [math] y [math], y logramos el objetivo.

Ahora, sea [math] el mayor entero tal que [math], es decir, [math]. Sea [math] tal que [math], entonces
[math]

Es claro que [math], por lo tanto [math].

Probaremos que [math]. En efecto, notemos que
[math]

Pero,
[math]

Y esto es cierto, pues si [math], entonces en el intervalo
[math]

habría una potencia de [math], lo cual es absurdo, pues contradice la maximalidad de [math]. Luego, como [math] y [math], se concluye que [math] se encuentra en el intervalo [math], que es a donde queríamos llegar.

Observación. Es fácil probar que si [math] es un entero, entonces entre [math] y [math], inclusive, existe una potencia de [math].
Avatar de Usuario
Prillo

Colaborador-Varias OFO - Jurado-OFO 2015
Mensajes: 401
Registrado: Sab 18 Dic, 2010 8:52 pm
Medallas: 2

Re: Iberoamericana 2016 P6

Mensaje sin leer por Prillo »

Spoiler: mostrar
Sea [math] el resto de [math] en la division por [math]. Consideremos
[math] y [math], que puedo porque [math]. Para estas dos elecciones de los [math] se cumple que [math] es multiplo de [math], o sea [math] para [math]. Ademas, para alguna de estas dos elecciones de los [math] se cumple que [math] no es multiplo de [math]. Pero [math] es raiz primitiva modulo potencias de [math], asi que para esa eleccion de los [math] existe un [math] tal que [math]. Luego [math], y listo.
1  
Avatar de Usuario
Emerson Soriano

OFO - Mención-OFO 2015 OFO - Medalla de Oro-OFO 2016 OFO - Medalla de Plata-OFO 2017 OFO - Medalla de Bronce-OFO 2018 OFO - Mención-OFO 2020
OFO - Medalla de Plata-OFO 2022
Mensajes: 826
Registrado: Mié 23 Jul, 2014 10:39 am
Medallas: 6

Re: Iberoamericana 2016 P6

Mensaje sin leer por Emerson Soriano »

Me siento humillado jejee
Avatar de Usuario
Prillo

Colaborador-Varias OFO - Jurado-OFO 2015
Mensajes: 401
Registrado: Sab 18 Dic, 2010 8:52 pm
Medallas: 2

Re: Iberoamericana 2016 P6

Mensaje sin leer por Prillo »

No te preocupes, el que deberia sentirse humillado es el problema.
Avatar de Usuario
Vladislao

Colaborador-Varias OFO - Jurado-OFO 2015 OFO - Jurado-OFO 2016 FOFO 6 años - Jurado-FOFO 6 años OFO - Jurado-OFO 2017
FOFO Pascua 2017 - Jurado-FOFO Pascua 2017
Mensajes: 808
Registrado: Mar 28 Dic, 2010 3:26 pm
Medallas: 6
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Córdoba

Re: Iberoamericana 2016 P6

Mensaje sin leer por Vladislao »

Qué raro que este problema haya estado en la prueba, y encima como problema 6. Lo digo en función de que hay varios otros problemas muy parecidos a este en enunciado, que salen exactamente con la idea de Prillo
Spoiler: mostrar
que $2$ es raíz primitiva módulo $5^k$ para todo $k\in \mathbb{N}$.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.
Responder