Determine todos los números primos positivos [math]p,q,r,k tales que [math]pq+qr+rp = 12k+1.
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Primero analicemos cuando entre los primos [math]p, [math]q, [math]r hay al menos dos que son iguales. En efecto,
Si [math]p=q=r, entonces [math]3p^{2}=12k+1, lo cual es absurdo, pues [math]1 no es múltiplo de [math]3.
Si entre los primos [math]p, [math]q y [math]r hay exactamente dos iguales, digamos [math]p=q, entonces [math]p^{2}+2pr=12k+1. Claramente [math]p no puede ser igual a [math]2 o [math]3, pues entonces [math]1 también sería múltiplo de [math]2 o [math]3, respectivamente. Por lo tanto, [math]p>3. Luego, [math]p^{2}\equiv 1 \:(\text{mod}\: 6) y por ende [math]1+2pr\equiv 1 \:(\text{mod}\: 6), así [math]pr es múltiplo de [math]3, pero como [math]p>3, entonces [math]r=3. Luego, [math]p^{2}+6p=12k+1, esto es [math](p+3)^{2}=12k+10, pero ningún cuadrado es de la forma [math]12k+10, ya que sería par pero no múltiplo de [math]4. Por lo tanto, este caso no presenta soluciones.
Con estos dos argumentos se ha probado que los tres primos [math]p, [math]q y [math]r deben ser distintos dos a dos. Ahora, supongamos sin pérdida de generalidad que [math]p<q<r. Si [math]p>3, entonces [math]5\leqslant p<q<r. Por lo tanto, [math]p, q, r\equiv 1\: \text{ó}\: -1 \:(\text{mod}\: 6). Si [math]p\equiv 1\: (\text{mod}\: 6), entonces [math]q+qr+r\equiv 1\: (\text{mod}\: 6), es decir, [math](q+1)(r+1)\equiv 2\: (\text{mod}\: 6). Quiere decir que [math]q y [math]r no son congruentes con [math]-1, sino con [math]1. Pero al reemplazar, tendríamos que [math]4\equiv 2\: (\text{mod}\: 6), lo cual es absurdo. Si [math]p\equiv -1\: (\text{mod}\: 6), entonces [math]-q+qr-r\equiv 1\: (\text{mod}\: 6), de donde [math](1-q)(1-r)\equiv 2\: (\text{mod}\: 6), esto obliga a que [math]q y [math]r no sean congruentes con [math]1 en el módulo [math]6, sino con [math]-1, pero entonces [math]4\equiv 2\: (\text{mod}\: 6), que también es un absurdo.
Por lo tanto, [math]p=2 o [math]p=3.
Si [math]p=3, entonces [math]3q+3r+qr\equiv 1\: (\text{mod}\: 12), es decir, [math](q+3)(r+3)\equiv 10\: (\text{mod}\: 4), lo cual es absurdo, pues [math](q+3)(r+3) es múltiplo de [math]4.
Si [math]p=2, entonces [math]2q+2r+qr=12k+1, es decir, [math](q+2)(r+2)=12k+5. Si [math]q>3, entonces [math]q y [math]r son congruentes con [math]1 o [math]-1 en el módulo [math]6, pero entonces los posibles restos de [math](q+2)(r+2) en el módulo [math]6 son [math]3, [math]1 o [math]4, y ninguno de ellos es igual a [math]5 tal como se desea. Por lo tanto, [math]q=3. Reemplazando se obtiene fácilmente que [math]k=5 y [math]r=11.
Finalmente, se concluye que hay una sola cuaterna de primos [math](p, q, r, k) que es [math](2,3, 11, 5).
Supongamos que [math]p,q,r son impares. Entonces, como [math]q^2 \equiv 1 \pmod{4} (vale para cualquier impar), resulta que [math]pr \equiv pq^2r = (pq)(qr) \pmod{4}. Llamando [math]x=pq, [math]y=qr, tenemos que el lado izquierdo de la igualdad es congruente módulo [math]4 con [math]x+y+xy = (x+1)(y+1) - 1. Como [math]x e [math]y son impares, [math]x+1 e [math]y+1 son pares y luego su producto es divisible por [math]4. Así que el lado izquierdo es congruente a [math]-1 módulo [math]4, y por lo tanto no puede ser igual a [math]12k+1. Con esto vemos que al menos uno de los números [math]p,q,r es igual a [math]2.
De forma similar, supongamos ahora que [math]p,q,r son distintos de [math]3, entonces [math]q^2 \equiv 1 \pmod{3} (vale para cualquier número no divisible por [math]3) y como antes llegamos a que el lado izquierdo es congruente módulo [math]3 con [math](x+1)(y+1) - 1. Como esto tiene que ser igual a [math]12k+1, debe ocurrir que [math](x+1)(y+1) \equiv 2 \pmod{3}, lo cual sólo puede pasar si los factores son [math]1 y [math]2 módulo [math]3, pero ningún factor puede ser [math]1 porque eso implicaría que [math]x o [math]y es un múltiplo de [math]3. Luego al menos uno de los números [math]p,q,r es igual a [math]3.
Sin pérdida de generalidad supongamos [math]p=2, [math]q=3, ahora la ecuación es [math]6 + 5r = 12k+1, es decir [math]5r = 12k-5, de donde [math]5 \mid 12k y como [math]k es primo sólo puede ser [math]k=5. Finalmente [math]r = \frac{12 \cdot 5 - 5}{5} = \frac{55}{5} = 11. Luego las únicas soluciones son [math](2,3,11,5) y las otras cinco que se obtienen permutando [math]p,q,r. [math]\blacksquare
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Si $p,q,r$ son impares, entonces $(p+1)(q+1)(r+1)=pqr+12k+1+p+q+r$ absurdo ya que $LHS$ es par mientras que $RHS$ es impar.
Entonces hay al menos un $2$.
Como $3|12k \Rightarrow 12k+1\equiv 1(mod 3)$. De donde los modulos $3$ de $pq,qr,rp$ son $0,0,1$ o $1,1,2$, no $0,2,2$ ya que significaria que alguno de $p,q,r$ es $3$, por lo que minimo $2$ terminos entre $pq,qr,rp$ son congruentes a $0$ modulo $3$.
Probando con modulos $1$ y $2$ es rapido que $1,1,2$ no es posible.
Entonces hay al menos un $3$.
Si $p=2$ y $q=3 \Rightarrow 5r+5=12k \Rightarrow k=5$ y $r=11$.
Si $p=2$ y $r=3 \Rightarrow 5q+5=12k \Rightarrow k=5$ y $q=11$. Lo mismo.
Gracias a la simetria de $pq+qr+rp$, las permutaciones de $(2,3,11)$ son validas con $k=5$ fijo.
